La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 20 de sep. de 2014, 1:36 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto en la recta $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ se encuentren en lados opuestos de $I$. Demuestre que la recta $AI$, la recta perpendicular a $AE$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:56 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 2) (a)$ Encuentre las ecuaciones de las hipérbolas equiláteras que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$ y $C(0, \gamma).$ $(b)$ Demuestre que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC.$ $(c)$ Encuentre el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. $(d)$ Compruebe si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Demuestre que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. Demuestre también que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 1:15 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(USS 5)$ Dados $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que formen un cuadrilátero convexo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 3:46 AM • 2 Y Y por megarnie, Adventure10 $(SWE 6)$ Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no pueden expresarse como la suma de los cuadrados de tres enteros positivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 9:52 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(NET 6)$ Una curva determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 9:54 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que un polígono regular con un número impar de lados no puede ser dividido en cuatro piezas de áreas iguales mediante dos líneas que pasen por el centro del polígono. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 10:34 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(POL 3)$ Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestre que $f(m)$ es divisible por $3$ para todo entero $m$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rushil 1592 publicaciones Rushil #1 h 7 de nov. de 2005, 4:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $C$ es un punto en el semicírculo de diámetro $AB$ , entre $A$ y $B$ . $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$ . El círculo $K_1$ es el incírculo de $ABC$ , el círculo $K_2$ es tangente a $CD,DA$ y al semicírculo, el círculo $K_3$ es tangente a $CD,DB$ y al semicírculo. Demuestre que $K_1,K_2$ y $K_3$ tienen otra tangente común además de $AB$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:53 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 1)$ Se dan una parábola $P_1$ con ecuación $x^2 - 2py = 0$ y una parábola $P_2$ con ecuación $x^2 + 2py = 0, p > 0$. Una recta $t$ es tangente a $P_2.$ Encuentre el lugar geométrico del polo $M$ de la recta $t$ con respecto a $P_1.$ Z K Y