La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:42 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Hay $n$ puntos no coplanarios en el espacio. Demuestre que existe un círculo que pasa exactamente por tres de ellos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 2 de nov. de 2005, 8:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de sus ángulos $ CAB$ y $ ABC$ que se cortan con los lados $ BC$ y $ CA$ en los puntos $ D$ y $ F$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ BF$ se cortan con la recta que pasa por el punto $ C$ paralela a $ AB$ en los puntos $ E$ y $ G$ respectivamente, y tenemos $ FG = DE$ . Demuestre que $ CA = CB$ . Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo y $ L$ la recta que pasa por $ C$ paralela al lado $ AB.$ Sea la bisectriz interna del ángulo en $ A$ que corta al lado $ BC$ en $ D$ y a la recta $ L$ en $ E$ , y sea la bisectriz interna del ángulo en $ B$ que corta al lado $ AC$ en $ F$ y a la recta $ L$ en $ G.$ Si $ GF = DE,$ demuestre que $ AC = BC.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que si $|x| < 1$, entonces \[ \frac{x}{(1-x)^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{x^3}{(1-x^3)^2}+\cdots=\frac{x}{1-x}+\frac{2x^2}{1+x^2}+\frac{3x^3}{1-x^3}+\cdots\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:48 p. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Dados $ n$ países con tres representantes cada uno, $ m$ comités $ A(1),A(2), \ldots, A(m)$ se denominan un ciclo si (i) cada comité tiene $ n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma composición; (iii) para $ i = 1, 2, \ldots,m$ , el comité $ A(i)$ y el comité $ A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $ A(m + 1)$ denota $ A(1);$ (iv) si $ 1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $ A(i)$ y $ A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:53 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Para un entero positivo dado $ k$, denote el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:51 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternadamente de acuerdo con las siguientes reglas: I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] sea un número primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1. ¿Para qué $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:16 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:42 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número de enteros impares entre los coeficientes binomiales $\binom nh \ ( 0 \leq h \leq n)$ es una potencia de 2. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:15 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el número real $t$ , tal que el siguiente sistema de ecuaciones tenga una única solución real $(x, y, z, v)$ : \[ \left\{\begin{array}{cc}x+y+z+v=0\\ (xy + yz +zv)+t(xz+xv+yv)=0\end{array}\right. \] Z K Y

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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el mayor factor primo de $B(n)$ . Demuestre que los valores de $f(n)$ son finitos y encuentre el valor máximo de $f(n).$ Z K Y