La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:44 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea la función $f : \mathbb Z_{\geq 0}^3 \to \mathbb N$ que satisface las siguientes condiciones: (i) $ f(0, 0, 0) = 1;$ (ii) $f(x, y, z) = f(x - 1, y, z) + f(x, y - 1, z) + f(x, y, z - 1);$ (iii) al aplicar la relación anterior de forma iterativa, si alguno de $x', y', z'$ es negativo, entonces $f(x', y', z') = 0.$ Demuestre que si $x, y, z$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces $\frac{\left(f(x,y,z) \right) ^k}{ f(mx ,my, mz)}$ no es un entero para cualesquiera enteros $k, m > 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de agosto de 2008, 1:02 PM • 1 Y Y por Adventure10 Determine para qué enteros positivos $ k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser particionado en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ tales que la suma de los elementos de $ A$ sea igual a la suma de los elementos de $ B.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 1:23 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $a + bi$ y $c + di$ dos raíces de la ecuación $x^n = 1990$ , donde $n \geq 3$ es un entero y $a,b,c,d \in \mathbb R$ . Bajo la transformación lineal $f =\left(\begin{array}{cc}a&c\\b &d\end{array}\right)$ , tenemos que $(2, 1) \to (1, 2)$ . Denotemos $r$ como la distancia desde la imagen de $(2, 2)$ al origen. Encuentre el rango de $r.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:55 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las rectas $ C_1K$ y $ AC$ se cortan en $ B_2,$ las rectas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 27 de oct. de 2022, 3:08 p. m. • 2 Y Y por LLL2019, cubres Encuentre todas las ternas ordenadas $(p,q,r)$ de enteros positivos tales que $p$ y $q$ son dos números primos (no necesariamente distintos), $r$ es par, y \[p^3+q^2=4r^2+45r+103.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:26 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $S = \{1, 2, \ldots, 1990\}$. Un subconjunto de $31$ elementos de $S$ se llama "bueno" si la suma de sus elementos es divisible por $5$. Encuentre el número de subconjuntos buenos de $S.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. El círculo $\Gamma$ satisface las siguientes condiciones: (i) El círculo $\Gamma$ interseca los tres lados del triángulo $ABC.$ (ii) En el hexágono convexo formado por las seis intersecciones anteriores, los tres pares de lados opuestos son respectivamente paralelos. (El hexágono puede ser degenerado, es decir, dos o más vértices coinciden. En este caso, "lados opuestos son paralelos" se define mediante una opinión límite.) Encuentre el lugar geométrico del centro del círculo $\Gamma$ y explique cómo construir dicho lugar geométrico. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:35 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Utilizando las siguientes cinco figuras, ¿se puede construir un paralelepípedo cuyas longitudes de lado sean todas enteros mayores que $1$ y cuyo volumen sea $1990$? (En la figura, cada cuadrado representa un cubo unitario). \[\text{Los cuadrados son iguales y todos son de } \Huge{1 \times 1}\] [asy] import graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); draw((2,4)--(0,4),linewidth(2pt)); draw((0,4)--(0,0),linewidth(2pt)); draw((0,0)--(2,0),linewidth(2pt)); draw((2,0)--(2,1),linewidth(2pt)); draw((2,1)--(0,1),linewidth(2pt)); draw((1,0)--(1,4),linewidth(2pt)); draw((2,4)--(2,3),linewidth(2pt)); draw((2,3)--(0,3),linewidth(2pt)); draw((0,2)--(1,2),linewidth(2pt)); label("(1)", (0.56,-1.54), SE*lsf); draw((4,2)--(4,1),linewidth(2pt)); draw((7,2)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((4,2)--(7,2),linewidth(2pt)); draw((4,1)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((6,0)--(6,3),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(5,0),linewidth(2pt)); draw((5,0)--(6,0),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(6,3),linewidth(2pt)); label("(2)", (5.13,-1.46), SE*lsf); draw((9,0)--(9,3),linewidth(2pt)); draw((10,3)--(10,0),linewidth(2pt)); draw((12,3)--(12,0),linewidth(2pt)); draw((11,0)--(11,3),linewidth(2pt)); draw((9,2)--(12,2),linewidth(2pt)); draw((12,1)--(9,1),linewidth(2pt)); draw((9,3)--(10,3),linewidth(2pt)); draw((11,3)--(12,3),linewidth(2pt)); draw((12,0)--(11,0),linewidth(2pt)); draw((9,0)--(10,0),linewidth(2pt)); label("(3)", (10.08,-1.48), SE*lsf); draw((14,1)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(17,2),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(15,0),linewidth(2pt)); draw((15,0)--(14,0)); draw((14,1)--(14,0),linewidth(2pt)); draw((16,2)--(16,0),linewidth(2pt)); label("(4)", (15.22,-1.5), SE*lsf); draw((14,0)--(16,0),linewidth(2pt)); draw((17,2)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((19,3)--(19,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(20,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(19,3),linewidth(2pt)); draw((19,2)--(20,2),linewidth(2pt)); draw((19,1)--(20,1),linewidth(2pt)); draw((20,0)--(19,0),linewidth(2pt)); label("(5)", (19.11,-1.5), SE*lsf); dot((0,0),ds); dot((0,1),ds); dot((0,2),ds); dot((0,3),ds); dot((0,4),ds); dot((1,4),ds); dot((2,4),ds); dot((2,3),ds); dot((1,3),ds); dot((1,2),ds); dot((1,1),ds); dot((2,1),ds); dot((2,0),ds); dot((1,0),ds); dot((5,0),ds); dot((6,0),ds); dot((5,1),ds); dot((6,1),ds); dot((5,2),ds); dot((6,2),ds); dot((5,3),ds); dot((6,3),ds); dot((7,2),ds); dot((7,1),ds); dot((4,1),ds); dot((4,2),ds); dot((9,0),ds); dot((9,1),ds); dot((9,2),ds); dot((9,3),ds); dot((10,0),ds); dot((11,0),ds); dot((12,0),ds); dot((10,1),ds); dot((10,2),ds); dot((10,3),ds); dot((11,1),ds); dot((11,2),ds); dot((11,3),ds); dot((12,1),ds); dot((12,2),ds); dot((12,3),ds); dot((14,0),ds); dot((15,0),ds); dot((16,0),ds); dot((15,1),ds); dot((14,1),ds); dot((16,1),ds); dot((15,2),ds); dot((16,2),ds); dot((17,2),ds); dot((17,1),ds); dot((19,0),ds); dot((20,0),ds); dot((19,1),ds); dot((20,1),ds); dot((19,2),ds); dot((20,2),ds); dot((19,3),ds); dot((20,3),ds); clip((-0.41,-10.15)--(-0.41,8.08)--(21.25,8.08)--(21.25,-10.15)--cycle); [/asy] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Durante el recreo, $n$ niños se sientan en círculo y juegan al juego descrito a continuación. El profesor recorre a los niños en el sentido de las agujas del reloj y les reparte caramelos de acuerdo con las siguientes reglas: seleccione a un niño, dele un caramelo; y dele un caramelo también al niño que está al lado del primer niño; luego salte a un niño y dele un caramelo al siguiente niño; luego salte a dos niños; dele un caramelo al siguiente niño; luego salte a tres niños; dele un caramelo al siguiente niño;... Encuentre el valor de $n$ para el cual el profesor puede asegurar que cada niño reciba al menos un caramelo eventualmente (quizás después de muchas vueltas). Z K Y

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