La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:16 a. m. • 3 Y Y por Physimathematics, Feridimo, Adventure10 En el triángulo $ABC$, $O$ es el circuncentro, $H$ es el ortocentro. Construya los circuncircunferencias de los triángulos $CHB$, $CHA$ y $AHB$, y sean sus centros $A_1, B_1, C_1$, respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ son congruentes, y que sus circunferencias de los nueve puntos coinciden. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 19 de sep. de 2010, 5:01 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $AB, AC$ son dos cuerdas del círculo centrado en $O$. El diámetro, que es perpendicular a $BC$, corta a $AB, AC$ en $F, G$ respectivamente ($F$ está en el círculo). La tangente desde $G$ es tangente al círculo en $T$. Demuestre que $F$ es la proyección de $T$ sobre $OG$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:59 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 En el plano cartesiano se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo está particionado en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (al cual llamaremos lado "bueno") que yace sobre una recta de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altura sobre este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado "malo" (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no sea un lado "bueno") es un lado común de dos triángulos en la partición. Demuestre que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 30 de octubre de 2022, 3:46 PM • 1 Y Y por LLL2019 Ana y Bety juegan un juego alternando turnos. Inicialmente, Ana elige un entero positivo impar y compuesto $n$ tal que $2^j<n<2^{j+1}$ con $2<j$. En su primer turno, Bety elige un entero compuesto impar $n_1$ tal que \[n_1\leq \frac{1^n+2^n+\dots+(n-1)^n}{2(n-1)^{n-1}}.\] Luego, en su otro turno, Ana elige un número primo $p_1$ que divide a $n_1$. Si el primo que Ana elige es $3$, $5$ o $7$, Ana gana; de lo contrario, Bety elige un entero positivo compuesto impar $n_2$ tal que \[n_2\leq \frac{1^{p_1}+2^{p_1}+\dots+(p_1-1)^{p_1}}{2(p_1-1)^{p_1-1}}.\] Después de eso, en su turno, Ana elige un primo $p_2$ que divide a $n_2$. Si $p_2$ es $3$, $5$ o $7$, Ana gana; de lo contrario, el proceso se repite. Además, Ana gana si en cualquier momento Bety no puede elegir un entero positivo compuesto impar en el rango correspondiente. Bety gana si logra jugar al menos $j-1$ turnos. Encuentre cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:46 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $A$ y $B$ son dos puntos en el plano $\alpha$, y la recta $r$ pasa por los puntos $A, B$. Hay $n$ puntos distintos $P_1, P_2, \ldots, P_n$ en uno de los semiplanos divididos por la recta $r$. Demuestre que hay al menos $\sqrt n$ valores distintos entre las distancias $AP_1, AP_2, \ldots, AP_n, BP_1, BP_2, \ldots, BP_n$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:37 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo arbitrario. Calcule $S_n = \sum_{r=0}^n 2^{r-2n} \binom{2n-r}{n}.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. tenplusten 1000 publicaciones tenplusten #1 h 14 de ene. de 2017, 5:12 a. m. • 3 Y Y por anantmudgal09, RMO-prep, Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo no isósceles con circunferencia circunscrita $\omega$ y sean $H, M$ el ortocentro y el punto medio de $AB$ respectivamente. Sean $P,Q$ puntos en el arco $AB$ de $\omega$ que no contiene a $C$ tales que $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$. Sean $R,S$ los pies de las alturas desde $H$ hacia $CQ,CP$ respectivamente. Demuestre que los puntos $P,Q,R,S$ son concíclicos y que $M$ es el centro de este círculo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por tenplusten, 13 de feb. de 2017, 10:35 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 10 de dic. de 2020, 5:23 a. m. Y por Dado el paralelogramo $ABCD$. Los puntos de trisección del lado $AB$ son: $H_1, H_2$, ($AH_1 = H_1H_2 = H_2B$). Los puntos de trisección del lado $DC$ son $G_1, G_2$, ($DG_1 = G_1G_2 = G_2C$), y $AD = 1, AC = 2$. Demuestre que el triángulo $AH_2G_1$ es isósceles. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 10 de dic. de 2020, 5:24 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 3:02 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n \geq 5$ un entero positivo. $a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n$ son enteros. $( a_i, b_i)$ son distintos por pares para $i = 1, 2, \ldots, n$ , y $|a_1b_2 - a_2b_1| = |a_2b_3 -a_3b_2| = \cdots = |a_{n-1}b_n -a_nb_{n-1}| = 1$ . Demuestre que existe un par de índices $i, j$ que satisfacen $2 \leq |i - j| \leq n - 2$ y $|a_ib_j -a_jb_i| = 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:56 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Seis ciudades $A, B, C, D, E$ y $F$ están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. $G$ es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades $B, C, E, F$ y $G$, respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden ser destruidas. La probabilidad de que la carretera entre dos ciudades consecutivas permanezca sin destruir es $p$. Determine la probabilidad de que la carretera entre las ciudades $A$ y $D$ esté sin destruir. Z K Y