La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. KenJP 34 publicaciones KenJP #1 h 13 de enero de 2026, 9:41 a. m. • 1 Y Y por cubres Para cada par de enteros $(i,j)$ con $1\le i\le j\le100$, exactamente una de las afirmaciones $x_i=x_j$ o $x_i\neq x_j$ está escrita en una pizarra. Determine el máximo entero no negativo $m$ tal que se cumple lo siguiente: Es posible asignar a cada uno de $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ un valor igual a $0$ o $1$ de tal manera que al menos $m$ de las afirmaciones escritas en la pizarra sean satisfechas. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rickyminer 343 publicaciones Rickyminer #1 h 6 de octubre de 2020, 12:22 a. m. Y por En una franja horizontal $1 \times n$ compuesta por $n$ cuadrados unitarios, los vértices de todos los cuadrados están marcados. La franja se divide en partes mediante segmentos que conectan puntos marcados y que no yacen sobre los lados de la franja. Los segmentos no pueden tener puntos interiores comunes; el extremo superior de cada segmento debe estar por encima del extremo inferior o más a la derecha. Demuestre que el número de todas las particiones es divisible por $2^n$. (La partición en la que no se trazan segmentos también se cuenta). (E. Robeva, M. Sun) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Vloe 14 publicaciones Vloe #1 h 3 de dic. de 2020, 1:08 p. m. Y Ari y Beri juegan un juego usando una baraja de $2020$ cartas con exactamente una carta con cada número del $1$ al $2020$. Ari obtiene una carta con un número $a$ y la retira de la baraja. Beri ve la carta, elige otra carta de la baraja con un número $b$ y la retira de la baraja. Luego, Beri escribe en la pizarra exactamente uno de los trinomios $x^2-ax+b$ o $x^2-bx+a$ a su elección. Este proceso continúa hasta que no queden cartas en la baraja. Si al final del juego cada trinomio escrito en la pizarra tiene soluciones enteras, Beri gana. De lo contrario, Ari gana. Demuestre que Beri siempre puede ganar, sin importar cómo juegue Ari. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Vloe, 3 de dic. de 2020, 1:09 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:31 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Definamos el corte de un polígono convexo de $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo de $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. KenJP 34 publicaciones KenJP #1 h 12 de enero de 2026, 9:35 PM Y por Encuentre todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $2^m=8n^6+n^2-1$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de octubre de 2025, 1:17 PM Y por En un "tablero de ajedrez" de $N \times N$ ( $N \ge 3$ ) cada casilla está coloreada de blanco. En un momento dado, el color de cinco casillas puede cambiarse (las casillas blancas se vuelven negras y las casillas negras se vuelven blancas) de acuerdo con el siguiente patrón: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/7411904d88d20aff945486e3e5da5257cf5cc2.png El patrón puede ser volteado. ¿Bajo qué condiciones pueden todas las casillas de un tablero de tamaño $N$ cambiarse a negro con un número finito de cambios de acuerdo con el patrón? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 23 de octubre de 2025, 1:18 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a1267ab 231 publicaciones a1267ab #1 h 8 de junio de 2020, 8:32 PM • 4 Y Y por samrocksnature, HWenslawski, shafikbara48593762, mxsail Demuestre que $r = 2$ es el número real más grande $r$ que satisface la siguiente condición: Si una sucesión $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ de enteros positivos cumple las desigualdades \[a_n \leq a_{n+2} \leq\sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}\] para todo entero positivo $n$ , entonces existe un entero positivo $M$ tal que $a_{n+2} = a_n$ para todo $n \geq M$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 18 de nov. de 2015, 3:31 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que existe una sucesión de enteros positivos $x_1, x_2,…x_n,…$ que satisface las siguientes dos condiciones: (i) Todo entero positivo aparece exactamente una vez, (ii) Para todo $n=1,2,…$ la suma parcial $x_1+x_2+…+x_n$ es divisible por $n^n$ . Z K Y

Dada un número natural $n$ con $n \ge 2$, definimos $a_i = n!+i$ , $i = 1, 2,..., n$ . Demuestre que para cada $k$ con $1 \le k \le n$ existe un número primo $p$, tal que $p$ divide a $a_k$, pero no a $a_i$, para todo $i$ que sea diferente de $k$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:49 a. m. • 9 Y Y por Davi-8191, mathematicsy, Adventure10, jhu08, megarnie, ImSh95, Mango247, Rounak_iitr, ItsBesi El círculo $S$ tiene centro $O$, y $BC$ es un diámetro de $S$. Sea $A$ un punto de $S$ tal que $\angle AOB<120{{}^\circ}$. Sea $D$ el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$. La recta que pasa por $O$ y es paralela a $DA$ corta a la recta $AC$ en $I$. La mediatriz de $OA$ corta a $S$ en $E$ y en $F$. Demuestre que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y