(a) Determine si existen dos dígitos decimales $a$ y $b$, tales que todo entero con representación decimal $ab222 ... 231$ sea divisible por $73$. (b) Determine si existen dos dígitos decimales $c$ y $d$, tales que todo entero con representación decimal $cd222... 231$ sea divisible por $79$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 27 de junio de 2024, 5:10 AM • 1 Y Y por wizixez Tres amigos, Archie, Billie y Charlie, juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene un montón de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie hace el segundo, Charlie hace el tercero y continúan realizando movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que realiza el movimiento debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido previamente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su montón y distribuirlos equitativamente entre los otros dos jugadores. Si un jugador no puede realizar un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determine todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, independientemente de cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego. Propuesto por Ilija Jovčeski, Macedonia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Lukaluce, 28 de junio de 2024, 11:02 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Teorema-del-binomio 3990 publicaciones Teorema-del-binomio #1 h 14 de junio de 2011, 9:54 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que si $(a,b,c,d)$ son enteros positivos tales que $(a+2^{\frac13}b+2^{\frac23}c)^2=d$ entonces $d$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un entero positivo). Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 11:53 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo. Encuentre todos los triángulos $XYZ$ con vértices dentro del triángulo $ABC$ tales que $XY, YZ, ZX$ y seis segmentos que no se intersecan de entre los siguientes $AX, AY, AZ, BX, BY, BZ, CX, CY, CZ$ dividan al triángulo $ABC$ en siete regiones con áreas iguales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 12:15 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Considere un cuadrilátero con $\angle DAB=60^{\circ}$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ y $\angle BCD=120^{\circ}$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $M$ . Si $MB=1$ y $MD=2$ , encuentre el área del cuadrilátero $ABCD$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 11:59 a. m. • 1 Y Y por EuclideanCarrot ¿Existen una sucesión $a_1, a_2, \ldots , a_n, \ldots$ de enteros positivos tal que para cualesquiera enteros positivos $i, j$: $$d(a_i + a_j ) = i + j?$$ Aquí $d(n)$ es el número de divisores positivos de un entero positivo Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 11:10 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Considere una sucesión de enteros positivos $x_n$ tal que: \[(\text{A})\ x_{2n+1}=4x_n+2n+2 \] \[(\text{B})\ x_{3n+\color[rgb]{0.9529,0.0980,0.0118}2}=3x_{n+1}+6x_n \] para todo $n\ge 0$ . Demuestre que \[(\text{C})\ x_{3n-1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_n \] para todo $n\ge 0$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por WakeUp, 30 de oct. de 2010, 6:15 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 9 de sep. de 2010, 1:39 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $f : [0, 1] \to \mathbb R$ una función continua que satisface: \[ \begin{cases}bf(2x) = f(x), &\mbox{ si } 0 \leq x \leq 1/2,\\ f(x) = b + (1 - b)f(2x - 1), &\mbox{ si } 1/2 \leq x \leq 1,\end{cases}\] donde $b = \frac{1+c}{2+c}$ , $c > 0$ . Demuestre que $0 < f(x)-x < c$ para todo $x, 0 < x < 1.$ Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 1 de jul. de 2018, 5:53 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 27 de junio de 2024, 5:06 a. m. • 5 Y Y por Sedro, farhad.fritl, ItsBesi, PJT, Zephyr0001 Encuentre todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$ Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Lukaluce, 28 de junio de 2024, 6:36 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 12:00 p. m. • 1 Y Y por NO_SQUARES Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que $P(n)$ es un entero para todo entero $n$. Además: $gcd(P(1), \ldots , P(k), \ldots) = 1$. Demuestre que todo entero $k$ puede representarse de infinitas maneras de la forma $\pm P(1) \pm P(2) \pm \ldots \pm P(m)$, para algún entero positivo $m$ y ciertas elecciones de $\pm$. Z K Y