La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. RobRoobiks 361 publicaciones RobRoobiks #1 h 4 de junio de 2012, 1:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado el triángulo $ABC$ , $\angle B= 2 \angle C$ , y $\angle A>90^\circ$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . La perpendicular a $AC$ en $C$ corta a $AB$ en $D$ . Demuestre que $\angle AMB = \angle DMC$ Haga clic para revelar el texto oculto Si es posible, no utilice geometría proyectiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de sep. de 2021, 8:27 p. m. • 1 Y Y por HWenslawski Una cruz es la figura compuesta por $6$ cuadrados unitarios que se muestra a continuación (y cualquier figura formada a partir de ella mediante rotación). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/0/6d4e0579d2e4c4fa67fd1219837576189ec9cb.png Encuentre el mayor número de cruces que se pueden cortar de una hoja de papel de $6 \times 11$ dividida en cuadrados unitarios (de tal manera que cada cruz consista en seis de dichos cuadrados). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de sep. de 2021, 8:29 p. m. Z K Y

Dada una sucesión $(a_1, a_2,... )$ con $a_1 = A$ , $a_2 = B$ , $a_n =\frac{a^2_{n-1}}{a_{n-2}}$ para todo número natural mayor que $2$. Demuestre que si $A, B$ y $\frac{A^2+B^2+C}{AB}$ son enteros, entonces todos los miembros de la sucesión son enteros.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathsLion 113 publicaciones MathsLion #1 h 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. • 2 Y Y por buratinogigle, Inconsistente En el pentágono convexo $ABCDE$, los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ son las intersecciones de los pares de diagonales $(BD, CE)$, $(CE, DA)$, $(DA, EB)$, $(EB, AC)$ y $(AC, BD)$ respectivamente. Demuestre que si cuatro de los cuadriláteros $AB_{1}A_{1}B$, $BC_{1}B_{1}C$, $CD_{1}C_{1}D$, $DE_{1}D_{1}E$ y $EA_{1}E_{1}A$ son cíclicos, entonces el quinto también lo es. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por MathsLion, 20 de dic. de 2020, 10:12 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 20 de dic. de 2020, 11:00 a. m. Y por Hay una tabla vacía con $2^{100}$ filas y $100$ columnas. Alice y Eva se turnan para llenar las celdas vacías de la primera fila de la tabla; Alice juega primero. En cada turno, Alice elige una celda vacía y coloca una cruz en ella; Eva, en cada turno, elige una celda vacía y coloca un cero. Cuando no quedan celdas vacías en la primera fila, las jugadoras pasan a la segunda fila, y así sucesivamente (en cada fila nueva, Alice juega primero). El juego termina cuando todas las filas están llenas. Alice quiere hacer tantas filas diferentes en la tabla como sea posible, mientras que Eva quiere hacer la menor cantidad posible. ¿Cuántas filas diferentes habrá en la tabla si ambas siguen sus mejores estrategias? Propuesto por Denis Afrizonov Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por parmenides51, 20 de dic. de 2020, 11:41 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ n\ge 3$ un número natural. Un conjunto de números reales $ \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ se denomina sumable si $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}=1$ . Demuestre que para todo $ n\ge 3$ siempre existe un conjunto sumable que consiste en $ n$ elementos tal que el elemento más grande es: a) mayor que $ 2^{2n-2}$ b) menor que $ n^2$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 31 de ago. de 2020, 11:30 a. m. Y por Sean $x_1, ..., x_n$ ( $n \ge 2$ ) números reales del intervalo $[1, 2]$ . Demuestre que $|x_1 - x_2| + ... + |x_n - x_1| \le \frac{2}{3}(x_1 + ... + x_n)$ , donde la igualdad se cumple si y solo si $n$ es par y la $n$-tupla $(x_1, x_2, ..., x_{n - 1}, x_n)$ es igual a $(1, 2, ..., 1, 2)$ o $(2, 1, ..., 2, 1)$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Bugi 1857 publicaciones Bugi #1 h 10 de nov. de 2008, 8:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine el mayor valor posible de $ m$ para el cual la ecuación $ 2005x + 2007y = m$ tiene una solución única en números naturales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 31 de ago. de 2020, 12:06 p. m. Y por Sea $ABC$ un triángulo, y sean $A_1, B_1, C_1$ puntos en los lados $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $AA_1, BB_1, CC_1$ son las bisectrices internas de los ángulos del $\triangle ABC$ . El circuncírculo $k' = (A_1B_1C_1)$ es tangente al lado $BC$ en $A_1$ . Sean $B_2$ y $C_2$ , respectivamente, los segundos puntos de intersección de $k'$ con las rectas $AC$ y $AB$ . Demuestre que $|AB| = |AC|$ o $|AC_1| = |AB_2|$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de sep. de 2020, 1:53 p. m. Y por Determine todos los enteros $m\ge2$ para los cuales existe un entero $n\ge1$ tal que $\gcd(m,n)=d$ y $\gcd(m,4n+1)=1$. Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de sep. de 2021, 1:09 p. m. Z K Y