vₚ(C(m+n,n)) = acarreos en base p.
El Teorema de Kummer te da el exponente exacto de la potencia más alta de un primo $p$ que divide a un coeficiente binomial. Específicamente, para un primo $p$ y enteros $n \ge m \ge 0$, la valuación $p$-ádica del coeficiente binomial $\binom{n}{m}$ es igual al número de "acarreos" al sumar $m$ y $n-m$ en base $p$. Este teorema sirve como un puente entre las propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales y la representación digital de los enteros en bases primas.
Este teorema es una herramienta fundamental en las competencias de teoría de números, sobre todo cuando te toca analizar la divisibilidad de cantidades combinatorias. Mientras que el Teorema de Lucas determina el valor de $\binom{n}{m} \pmod p$, el Teorema de Kummer te da información sobre la divisibilidad por potencias más altas de $p$ (o sea, $p^k$). Lo puedes usar seguido para determinar cuándo $\binom{n}{m}$ es impar (usando $p=2$), para contar cuántos factores primos tienen los números de Catalan, o para analizar la convergencia $p$-ádica de sucesiones combinatorias.
La intuición detrás del teorema viene de la Fórmula de Legendre, que relaciona la valuación de un factorial $n!$ con la suma de los dígitos de $n$ en base $p$. Como un coeficiente