vp(C(m+n,n)) es igual a los acarreos en base p.
El Teorema de Kummer te da una fórmula precisa para la potencia más alta de un primo $p$ que divide a un coeficiente binomial $\binom{n}{k}$. Aunque calcular el valor exacto de $\binom{n}{k}$ implica factoriales muy grandes, determinar su divisibilidad por un primo $p$ es fácil si te fijas en las representaciones en base $p$ de los enteros involucrados. Específicamente, el teorema dice que el exponente de $p$ en la factorización en primos de $\binom{n}{k}$ es exactamente igual al número de "acarreos" que haces al sumar $k$ y $n-k$ en base $p$.
Este resultado es una pieza fundamental de la combinatoria aritmética y lo vas a encontrar mucho en problemas de olimpiada de teoría de números que involucran valuaciones de factoriales y coeficientes binomiales. Te sirve como un puente entre la estructura algebraica de los binomiales y la estructura digital de los enteros. Es muy útil para determinar la paridad (usando $p=2$), demostrar que ciertos coeficientes binomiales son divisibles por $p$, o analizar la distribución de los coeficientes módulo $p$.
Intuitivamente, este teorema viene de la Fórmula de Legendre, que relaciona la valuación de $n!$ con la suma de los dígitos de $n$. Como un coeficiente binomial es un cociente de factoriales, la valuación depende de la diferencia entre la suma de los dígitos del