Vínculo entre Kummer y Lucas.
La relación entre el Teorema de Kummer y el Teorema de Lucas te da una visión profunda de la estructura de los coeficientes binomiales módulo un primo $p$. Mientras que el Teorema de Lucas te da un método para calcular el residuo de $\binom{n}{k}$ módulo $p$ usando expansiones en base $p$, el Teorema de Kummer te dice la potencia exacta de $p$ que divide a $\binom{n}{k}$ al contar los acarreos en la suma $k + (n-k)$ en base $p$.
Estos dos teoremas se conectan de forma muy clara cuando quieres saber si $\binom{n}{k}$ es divisible entre $p$. El Teorema de Lucas dice que $\binom{n}{k} \not\equiv 0 \pmod p$ si y solo si cada dígito de $k$ en base $p$ es menor o igual al dígito correspondiente de $n$. Por otro lado, el Teorema de Kummer dice que el exponente de $p$ en la factorización en primos de $\binom{n}{k}$ es igual al número de acarreos al sumar $k$ y $n-k$ en base $p$.
La conexión te muestra que estas condiciones son equivalentes: $\binom{n}{k}$ no es divisible entre $p$ (su valuación es 0) justo cuando hay cero acarreos en la suma $k + (n-k