(2/p) = (-1)^((p²-1)/8).
El Suplemento (2/p), que muchas veces vas a encontrar como el Second Supplement to the Law of Quadratic Reciprocity, te dice si el número $2$ es un residuo cuadrático módulo un primo impar $p$. O sea, te responde si la congruencia $x^2 \equiv 2 \pmod p$ tiene soluciones enteras. Mientras que la Law of Quadratic Reciprocity relaciona $(p/q)$ con $(q/p)$ para primos impares distintos, no cubre el caso donde uno de los números es $2$. Este suplemento llena ese hueco y completa el algoritmo para que puedas evaluar cualquier símbolo de Legendre $(a/p)$, ya que te permite factorizar los números pares $a$.
El resultado es muy elegante por cómo depende del módulo $8$. A diferencia del First Supplement $(-1/p)$, que depende de $p \pmod 4$, el hecho de que $x^2 \equiv 2 \pmod p$ tenga solución depende de $p \pmod 8$. Específicamente, $2$ es un residuo cuadrático si $p \equiv \pm 1 \pmod 8$ y es un no-residuo cuadrático si $p \equiv \pm 3 \pmod 8$. Esta distinción es fundamental en la teoría algebraica de números, porque tiene que ver con cómo el ideal primo $(2)$ se descompone en campos cuadráticos; pero en las olimpiadas de matemáticas, lo vas a usar principalmente como una herramienta de cálculo y como un paso en demostraciones de teoría de números más