Suplemento de (-1/p)

Teoría

El Suplemento de $(-1/p)$, que a menudo vas a encontrar como el Primer Suplemento a la Ley de Reciprocidad Cuadrática, es un resultado fundamental en teoría de números que te dice si $-1$ es un residuo cuadrático módulo un primo impar $p$. En palabras más simples, te indica si la congruencia $x^2 \equiv -1 \pmod p$ tiene soluciones enteras. El teorema dice que $-1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si y solo si $p \equiv 1 \pmod 4$, y es un no-residuo cuadrático si y solo si $p \equiv 3 \pmod 4$.

Este concepto es crucial en las olimpiadas de matemáticas por varias razones. Primero, te sirve como caso base para evaluar símbolos de Legendre más complejos usando la propiedad multiplicativa $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$. Segundo, te da una condición necesaria para los divisores de números de la forma $n^2 + 1$; específicamente, cualquier factor primo impar de $n^2 + 1$ tiene que ser de la forma $4k+1$. Esta propiedad se usa mucho en ecuaciones diofánticas y en demostraciones sobre la infinitud de los primos de la forma $4k+1$.

La intuición detrás de este resultado la encuentras en el orden de los elementos en el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_p^*$. Si $x^2 \equiv -1 \pmod p$, entonces $x^4 \equiv 1 \pmod p$ pero $x^2 \not\equiv 1 \pmod p$. Esto significa que el elemento $x$ tiene orden 4. Por el Teorema de Lagrange, el orden de un elemento tiene que dividir al orden del grupo, que es $p-1$. Por lo tanto, 4 tiene que dividir a $p-1$, lo que implica que $p \equiv 1 \pmod 4$. Si $p \equiv 3 \pmod 4$, entonces $p-1$ no es divisible entre 4, así que no existe ningún elemento de orden 4.

Fórmulas Clave

El valor del símbolo de Legendre $\left(\frac{-1}{p}\right)$ para un primo impar $p$ lo calculas así:

$$ \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} $$

Esto lo puedes separar en los casos explícitos según el módulo de $p$:

$$ \left(\frac{-1}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{si } p \equiv 1 \pmod 4 \ -1 & \text{si } p \equiv 3 \pmod 4 \end{cases} $$

Teoremas Relacionados:

• Criterio de Euler: Para cualquier entero $a$ coprimo con un primo impar $p$: $$ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p $$
• Aplicación del Teorema de Wilson: Si $p \equiv 1 \pmod 4$, una solución para $x^2 \equiv -1 \pmod p$ se ve explícitamente así: $$ x \equiv \pm \left(\frac{p-1}{2}\right)! \pmod p $$

Demostración

Aquí tienes una demostración usando el Criterio de Euler, que es el método más directo para sacar la expresión cerrada.

Teorema: Para un primo impar $p$, $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

Demostración:

1. Recuerda el Criterio de Euler El Criterio de Euler dice que para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $a$ que no sea divisible entre $p$: $$ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p $$

2. Sustituye $a = -1$ Si tomas $a = -1$, el criterio queda así: $$ \left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod p $$

3. Analiza el exponente Como $p$ es un primo impar, $p$ tiene que ser de la forma $4k+1$ o $4k+3$ para algún entero $k$. Analiza el exponente $\frac{p-1}{2}$ en estos dos casos:

   • Caso 1: $p \equiv 1 \pmod 4$ Si $p = 4k + 1$, entonces: $$ \frac{p-1}{2} = \frac{(4k+1)-1}{2} = \frac{4k}{2} = 2k $$ Como $2k$ es par, $(-1)^{2k} = 1$. Así que $\left(\frac{-1}{p}\right) \equiv 1 \pmod p$. Como el símbolo de Legendre solo puede valer $1$ o $-1$, tienes que $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$.

   • Caso 2: $p \equiv 3 \pmod 4$ Si $p = 4k + 3$, entonces: $$ \frac{p-1}{2} = \frac{(4k+3)-1}{2} = \frac{4k+2}{2} = 2k + 1 $$ Como $2k+1$ es impar, $(-1)^{2k+1} = -1$. Así que $\left(\frac{-1}{p}\right) \equiv -1 \pmod p$. Por lo tanto, $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$.

4. Conclusión En ambos casos, el valor del símbolo de Legendre coincide con el valor de $(-1)^{\frac{p-1}{2}}$. Por lo tanto: $$ \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} $$ $\square$