Reciprocidad Cuadrática

Teoría

La Ley de Reciprocidad Cuadrática es uno de los teoremas más famosos en la teoría de números; Carl Friedrich Gauss incluso lo llamaba el "Teorema Dorado". Describe una relación muy profunda entre dos números primos impares, $p$ y $q$, específicamente sobre si $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$ y si $q$ es un residuo cuadrático módulo $p$. En términos del símbolo de Legendre, te da una fórmula que relaciona $\left(\frac{p}{q}\right)$ y $\left(\frac{q}{p}\right)$. Esta relación revela una simetría profunda en la distribución de los números primos que no es obvia a simple vista con la pura definición de aritmética modular.

Este teorema es indispensable en las olimpiadas de matemáticas para evaluar símbolos de Legendre con módulos grandes. Sin la Reciprocidad Cuadrática, determinar si un número $a$ es un cuadrado perfecto módulo un primo grande $p$ requeriría cálculos pesadísimos. El teorema te permite "voltear" el módulo y el argumento, reduciendo sucesivamente los números involucrados (muy parecido al algoritmo de Euclides) hasta que los valores sean lo suficientemente pequeños para evaluarlos a simple vista.

La idea central del teorema es que la solubilidad de $x^2 \equiv p \pmod q$ y $x^2 \equiv q \pmod p$ es idéntica, a menos que ambos primos dejen un residuo de 3 al dividirlos entre 4. Si $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$, la solubilidad es opuesta (uno tiene solución si y solo si el otro no la tiene). Esta condición específica depende de la paridad de $\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}$.

Fórmulas Clave

La Ley de Reciprocidad Cuadrática Para primos impares distintos $p$ y $q$: $$ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$

Esto lo puedes escribir de otra forma basándote en la congruencia de $p$ y $q$ módulo 4: $$ \left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} -\left(\frac{q}{p}\right) & \text{if } p \equiv q \equiv 3 \pmod 4 \ \left(\frac{q}{p}\right) & \text{otherwise} \end{cases} $$

Primer Suplemento de la Reciprocidad Cuadrática Determina cuándo $-1$ es un residuo cuadrático: $$ \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1 & \text{if } p \equiv 1 \pmod 4 \ -1 & \text{if } p \equiv 3 \pmod 4 \end{cases} $$

Segundo Suplemento de la Reciprocidad Cuadrática Determina cuándo $2$ es un residuo cuadrático: $$ \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} = \begin{cases} 1 & \text{if } p \equiv 1, 7 \pmod 8 \ -1 & \text{if } p \equiv 3, 5 \pmod 8 \end{cases} $$

Criterio de Euler La definición fundamental que usas para obtener estas propiedades: $$ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p $$

Demostración

Aquí tienes la Demostración de Eisenstein, que usa un argumento de conteo geométrico con puntos de una retícula. Muchos la consideran la demostración más intuitiva.

Lema (Eisenstein): Para un primo impar $p$ y un entero $a$ tal que $\gcd(a,p)=1$: $$ \left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^{\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \lfloor \frac{ka}{p} \rfloor} $$

Demostración del Teorema: Toma $p$ y $q$ como primos impares distintos. Considera el rectángulo de puntos de la retícula en el plano $xy$ definido por: $$ 1 \le x \le \frac{p-1}{2} \quad \text{and} \quad 1 \le y \le \frac{q-1}{2} $$ El número total de puntos enteros $(x,y)$ en este rectángulo es claramente $\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}$.

Dibuja la línea diagonal $y = \frac{q}{p}x$ que pasa por el origen.

1. No hay puntos en la diagonal: Como $p$ y $q$ son primos distintos, $\frac{q}{p}$ está en su forma más simple. Para que un punto $(x,y)$ esté en la línea, tendrías que tener $py = qx$. Esto implica que $p \mid qx$. Como $\gcd(p,q)=1$, $p$ tiene que dividir a $x$. Pero como $1 \le x \le \frac{p-1}{2} < p$, $x$ no puede ser múltiplo de $p$. Por lo tanto, no hay puntos de la retícula en la diagonal.

2. Contando puntos debajo de la diagonal: Considera una $x$ fija en el rango $1 \le x \le \frac{p-1}{2}$. El número de enteros $y$ que cumplen $1 \le y < \frac{q}{p}x$ es exactamente $\lfloor \frac{qx}{p} \rfloor$. Sumando sobre todas las $x$ válidas, el número total de puntos de la retícula dentro del rectángulo y debajo de la diagonal es: $$ N_1 = \sum_{x=1}^{(p-1)/2} \left\lfloor \frac{qx}{p} \right\rfloor $$ Por el Lema de Eisenstein, $\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{N_1}$.

3. Contando puntos arriba de la diagonal: De forma parecida, considera una $y$ fija en el rango $1 \le y \le \frac{q-1}{2}$. La condición para que un punto esté arriba de la línea $y = \frac{q}{p}x$ es $x < \frac{p}{q}y$. El número de enteros $x$ que cumplen esto es $\lfloor \frac{py}{q} \rfloor$. Sumando sobre todas las $y$ válidas, el número total de puntos de la retícula dentro del rectángulo y arriba de la diagonal es: $$ N_2 = \sum_{y=1}^{(q-1)/2} \left\lfloor \frac{py}{q