(a/p) puede ser 0, 1 o -1.
El Símbolo de Legendre es una notación fundamental en la teoría de números que sirve para describir el carácter cuadrático de un entero módulo un primo impar $p$. Lo escribimos como $\left(\frac{a}{p}\right)$ (a veces como $(a/p)$), e indica si el entero $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$. Dices que un entero $a$ es un residuo cuadrático módulo $p$ si existe un entero $x$ tal que $x^2 \equiv a \pmod p$. Si no existe tal $x$, entonces $a$ es un no-residuo cuadrático.
Este concepto es crucial porque transforma la pregunta de si una congruencia cuadrática tiene solución en una función aritmética con propiedades algebraicas muy útiles. El símbolo de Legendre te permite calcular si $x^2 \equiv a \pmod p$ tiene solución sin tener que encontrar la solución como tal. Sirve como la pieza fundamental para la Ley de Reciprocidad Cuadrática, que relaciona la existencia de soluciones de $x^2 \equiv q \pmod p$ con las de $x^2 \equiv p \pmod q$ para primos impares distintos $p$ y $q$.
De forma intuitiva, el símbolo de Legendre actúa como un homomorfismo del grupo multiplicativo de los enteros módulo $p$ (denotado como $\mathbb{Z}_p^*$) al grupo ${1, -1}$. Como exactamente la mitad de los elementos en