(a/p) = 0, 1 o -1.
El símbolo de Legendre, que escribimos como $\left(\frac{a}{p}\right)$ o $(a/p)$, es una función aritmética fundamental en la teoría de números que caracteriza a los enteros según su naturaleza cuadrática módulo un primo impar $p$. Sirve como una función indicadora que determina si la congruencia cuadrática $x^2 \equiv a \pmod{p}$ tiene solución. Si existe una solución (y $a$ no es múltiplo de $p$), a $a$ lo llamamos residuo cuadrático módulo $p$; de lo contrario, es un no-residuo cuadrático.
El símbolo de Legendre toma exactamente tres valores: $0$, $1$ y $-1$. Esta simplicidad permite transformar preguntas multiplicativas complejas sobre formas cuadráticas en cálculos aritméticos. El símbolo es multiplicativo, lo que significa que $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$; esto básicamente trata al grupo multiplicativo de enteros módulo $p$ como un homomorfismo al grupo ${1, -1}$.
En las matemáticas de competencia, como el USAMO o la IMO, el símbolo de Legendre es la piedra angular de la reciprocidad cuadrática. Te permite determinar si una ecuación cuadrática en aritmética modular tiene solución sin tener que encontrar las raíces. Entender los valores específicos del símbolo es el primer paso para dominar el Criterio de Euler y la Ley de Reciprocidad Cuadrática.