Propiedad de (ab/p) = (a/p)(b/p).
El símbolo de Legendre $\left(\frac{a}{p}\right)$ tiene la propiedad de ser una función completamente multiplicativa respecto a su numerador (el argumento de arriba). Esto significa que el carácter cuadrático de un producto es igual al producto de los caracteres cuadráticos de sus factores. En el lenguaje de teoría de grupos, para un primo fijo $p$, el símbolo de Legendre actúa como un homomorfismo de grupos desde el grupo multiplicativo de enteros módulo $p$, que escribimos como $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, al grupo multiplicativo ${1, -1}$.
Esta propiedad es fundamental para calcular residuos cuadráticos en la práctica. Te permite determinar si un número compuesto grande $n$ es un residuo cuadrático módulo $p$ examinando los factores primos de $n$. Si $n$ tiene la factorización en primos $n = q_1^{e_1} q_2^{e_2} \cdots q_k^{e_k}$, la propiedad de multiplicatividad te deja descomponer el problema en evaluar $\left(\frac{q_i}{p}\right)$ para cada factor primo. Sin esta propiedad, determinar residuos cuadráticos a menudo requeriría checar todos los cuadrados módulo $p$ o hacer una exponenciación modular con el número completo.
Intuitivamente, esta propiedad refleja la aritmética de los exponentes. Como ser un residuo cuadrático es equivalente a tener un índice par (logaritmo discreto) respecto a una raíz primitiva, y la multiplicación de números corresponde a la suma de sus índices, la paridad de los índices se suma. Específicamente, "residuo $\times$ residuo" es un residuo (par $+$ par $=$ par), "no-residuo $\times$ no-residuo" es un residuo (impar $+$ impar $=$ par), y "residuo $\times$ no-residuo" es un no-residuo (par $+$ impar $=$ impar). Esta lógica de paridad queda capturada perfectamente por la multiplicación de $1$ y $-1$.
Sea $p$ un primo impar y sean $a, b, a_1, \dots, a_k$ enteros.
La Propiedad Fundamental: $$ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) $$
Generalización a Múltiples Factores: $$ \left(\frac{a_1 a_2 \cdots a_k}{p}\right) = \left(\frac{a_1}{p}\right) \left(\frac{a_2}{p}\right) \cdots \left(\frac{a_k}{p}\right) $$
Factores Cuadrados: Para cualquier entero $k$, como $\left(\frac{k^2}{p}\right) = 1$ (asumiendo que $p \nmid k$), tienes que: $$ \left(\frac{a k^2}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) $$
Cocientes (Inversos Modulares): Como $\left(\frac{b^2}{p}\right)=1$, tienes que $\left(\frac{b}{p}\right) = \left(\frac{b^{-1}}{p}\right)$. Por lo tanto: $$ \left(\frac{a/b}{p}\right) \equiv \left(\frac{a b^{-1}}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) $$
Aquí tienes la demostración de la multiplicatividad del símbolo de Legendre usando el Criterio de Euler.
Teorema: Para un primo impar $p$ y enteros $a, b$, $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$.
Demostración:
Caso 1: $p$ divide a $a$ o $p$ divide a $b$. Si $p \mid a$, entonces $p \mid ab$. Por definición, $\left(\frac{a}{p}\right) = 0$ y $\left(\frac{ab}{p}\right) = 0$. Así que $\left(\frac{ab}{p}\right) = 0 = 0 \cdot \left(\frac{b}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$. La propiedad se cumple.
Caso 2: $p \nmid a$ y $p \nmid b$. De acuerdo al Criterio de Euler, para cualquier entero $n$ que no sea divisible por $p$: $$ \left(\frac{n}{p}\right) \equiv n^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} $$
Aplica el Criterio de Euler al producto $ab$: $$ \left(\frac{ab}{p}\right) \equiv (ab)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} $$
Usando las leyes de los exponentes (ya que la multiplicación es conmutativa): $$ (ab)^{\frac{p-1}{2}} = a^{\frac{p-1}{2}} b^{\frac{p-1}{2}} $$
Sustituye el Criterio de Euler de vuelta en la ecuación para los factores individuales $a$ y $b$: $$ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \pmod{p} $$ $$ b^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{b}{p}\right) \pmod{p} $$
Si combinas los pasos 3, 4 y 5, obtienes: $$ \left(\frac{ab}{p}\right) \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \left(\frac{b}{p}\right) \pmod{p} $$
El símbolo de Legendre solo toma valores en el conjunto ${-1, 0, 1}$. La diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho tiene que ser un múltiplo de $p$. $$ \text{lado izquierdo} - \text{lado derecho} \in {0, \pm 2} $$ Como $p$ es un primo impar ($p \ge 3$), $p$ no puede dividir a $\pm 2$ (a menos que la diferencia sea 0). Por lo tanto, la congruencia implica una igualdad estricta: $$ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) $$
$\square$