Teorema Fundamental de la Aritmética

Teoría

El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que todo entero mayor a 1 se puede representar de forma única como un producto de números primos, sin importar el orden de los factores. Este teorema es la base de la teoría de números multiplicativa y justifica por qué los números primos son tan importantes.

El teorema tiene dos partes:

1. Existencia: Todo entero $n > 1$ se puede escribir como un producto de primos.
2. Unicidad: Esta representación es única, salvo por el orden de los factores.

El teorema te permite:

• Definir funciones aritméticas usando la factorización en primos.
• Probar propiedades de divisibilidad.
• Contar divisores usando la fórmula $\tau(n) = \prod(a_i + 1)$.
• Entender el MCD y el MCM en términos de factorizaciones de primos.

Fórmulas Clave

Factorización en Primos: $$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$$

donde $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ son primos y $a_i \geq 1$.

Número de Divisores: $$\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$$

Suma de Divisores: $$\sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \frac{p_2^{a_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdots \frac{p_k^{a_k+1} - 1}{p_k - 1}$$

MCD y MCM: Si $m = \prod p_i^{a_i}$ y $n = \prod p_i^{b_i}$: $$\gcd(m, n) = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}$$ $$\text{lcm}(m, n) = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$$

Demostración

Demostración de la Existencia (Inducción Fuerte):

Caso base: $n = 2$ es primo, así que técnicamente ya es un producto de primos. $\checkmark$

Paso inductivo: Supón que todo entero desde 2 hasta $n-1$ se puede escribir como un producto de primos.

Para $n$:

• Si $n$ es primo, entonces el mismo $n$ es el producto (de un solo primo). $\checkmark$
• Si $n$ es compuesto, entonces $n = ab$ donde $1 < a, b < n$. Por la hipótesis inductiva, tanto $a$ como $b$ se pueden escribir como productos de primos. Por lo tanto, $n = ab$ también es un producto de primos. $\checkmark$

Demostración de la Unicidad:

Necesitas un lema clave:

Lema de Euclides: Si $p$ es primo y $p \mid ab$, entonces $p \mid a$ o $p \mid b$.

Demostración del Lema de Euclides: Si $p \nmid a$, entonces $\gcd(p, a) = 1$. Por la identidad de Bezout, existen enteros $x, y$ tales que $px + ay = 1$. Si multiplicas por $b$ tienes: $pbx + aby = b$. Como $p \mid ab$, entonces $p \mid aby$. Y como $p \mid pbx$, entonces $p \mid b$. $\square$

Demostración de la Unicidad:

Supón que $n = p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s$ son dos factorizaciones en primos.

Como $p_1 \mid q_1 q_2 \cdots q_s$, por el lema de Euclides (aplicado varias veces), $p_1 \mid q_j$ para algún $j$.

Como $q_j$ es primo y $p_1 \mid q_j$, a fuerza tiene que ser $p_1 = q_j$.

Cancela $p_1 = q_j$ de ambos lados: $$p_2 \cdots p_r = q_1 \cdots q_{j-1} q_{j+1} \cdots q_s$$

Sigue con este proceso. Cada primo de la izquierda va a tener su pareja en la derecha.

Si $r < s$, al final llegarías a que $1 = q_{i_1} \cdots q_{i_{s-r}}$, un producto de primos, lo cual es imposible.

De la misma forma, si $s < r$ llegas a una contradicción.

Por lo tanto, $r = s$ y los primos coinciden (en algún orden). $\square$