Cualquier n > 1 se puede expresar como producto de primos.
La Existencia de la Factorización es la primera parte del Teorema Fundamental de la Aritmética. Dice que cualquier entero $n > 1$ lo puedes representar como el producto de uno o más números primos. Aunque la segunda parte del teorema trata sobre la unicidad de esta representación, el lema de existencia te garantiza que siempre puedes descomponer un número en "bloques" primos. Este concepto te permite ver a los números primos como los "átomos" de la teoría de números, con los que construyes todos los números compuestos mediante la multiplicación.
En las olimpiadas de matemáticas, como el AMC y el AIME, este principio te lo vas a encontrar por todos lados. Es la base lógica para técnicas donde usas el máximo común divisor (MCD), el mínimo común múltiplo (mcm) y el análisis de cuántos divisores tiene un número. Cuando resuelves ecuaciones diofánticas o simplificas expresiones complejas con enteros, poder descomponer un número en primos te permite dividir un problema grande y difícil en problemas más chicos e independientes basados en factores primos distintos.
Intuitivamente, la existencia de la factorización se basa en que no puedes dividir los enteros infinitamente y que sigan siendo enteros. Si un número es primo, la factorización ya existe de forma trivial. Si un número es compuesto, lo puedes separar en dos factores más chicos. Si esos factores son compuestos, los puedes seguir separando. Como los factores son estrictamente más chicos que el número original pero tienen que ser