Teorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrange

Teoría

El Teorema de los Cuatro Cuadrados de Lagrange es un resultado fundamental en la teoría aditiva de números que dice que todo número natural se puede representar como la suma de cuatro cuadrados de enteros. Aunque existen casos más simples —como el Teorema de la Suma de Dos Cuadrados, que solo aplica a primos de la forma $4k+1$ (y a enteros con factorizaciones específicas), o el Teorema de la Suma de Tres Cuadrados, que excluye enteros de la forma $4^k(8m+7)$— el teorema de Lagrange es universal. Te garantiza que para cualquier entero positivo $n$, la ecuación diofántica $n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ siempre tiene soluciones en enteros no negativos.

Este teorema es un caso específico del Problema de Waring, que pregunta por el número más pequeño $g(k)$ tal que cada entero positivo es la suma de a lo mucho $g(k)$ potencias $k$-ésimas. El teorema de Lagrange establece que $g(2)=4$. El resultado es especialmente poderoso en las olimpiadas de matemáticas porque te permite asumir que existe tal representación sin tener que demostrarla, lo que a menudo convierte problemas sobre las propiedades de un entero $n$ en problemas algebraicos que involucran la suma de cuatro cuadrados.

La demostración del teorema se apoya mucho en la Identidad de los Cuatro Cuadrados de Euler, que establece que el producto de dos números, donde cada uno se puede expresar como suma de cuatro cuadrados, es también una suma de cuatro cuadrados. Esta propiedad multiplicativa reduce el problema a demostrar el teorema para números primos. La demostración para primos normalmente usa un "método de descenso infinito", una técnica famosamente asociada con Fermat, donde asumes que existe una solución para un múltiplo de un primo y construyes sistemáticamente un múltiplo más pequeño hasta llegar al primo mismo.

Fórmulas Clave

El Teorema Principal Para cada entero positivo $n$, existen enteros $a, b, c, d$ tales que: $$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$

Identidad de los Cuatro Cuadrados de Euler Si dos números se pueden escribir como sumas de cuatro cuadrados, su producto también se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados. $$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2) = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2$$ donde: $$ \begin{aligned} c_1 &= a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4 \ c_2 &= a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3 \ c_3 &= a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2 \ c_4 &= a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1 \end{aligned} $$ (Nota: Esta identidad está relacionada con la norma del producto de dos cuaterniones).

Lema de Congruencia Para cualquier primo impar $p$, existen enteros $x$ y $y$ tales que: $$x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$$ con $0 \le x, y < \frac{p}{2}$.

Demostración

La demostración se divide en dos etapas principales: primero, reducir el problema a números primos usando la Identidad de Euler, y segundo, demostrar el teorema para primos usando el método de descenso.

Paso 1: Reducción a Primos Nota que $1 = 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2$. Por la Identidad de los Cuatro Cuadrados de Euler, si el teorema se cumple para los enteros $M$ y $N$, se cumple para su producto $MN$. Como cada entero $n > 1$ es un producto de primos, basta con demostrar que cada primo $p$ es la suma de cuatro cuadrados. Para $p=2$, tienes $2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2$. Ahora enfócate en los primos impares.

Paso 2: Existencia de un Múltiplo (El Lema) Sea $p$ un primo impar. Primero hay que mostrar que algún múltiplo de $p$, digamos $mp$, es una suma de cuatro cuadrados con $0 < m < p$. Considera el conjunto de cuadrados $S_1 = {x^2 \mid 0 \le x \le \frac{p-1}{2}}$ and the set $S_2 = {-1-y^2 \mid 0 \le y \le \frac{p-1}{2}}$. Ambos conjuntos contienen $\frac{p+1}{2}$ elementos distintos módulo $p$. Como solo hay $p$ residuos módulo $p$, por el Principio de las Casillas, $S_1$ y $S_2$ deben compartir un residuo. Así que $x^2 \equiv -1-y^2 \pmod p$ para algunos $x, y$. $$x^2 + y^2 + 1^2 + 0^2 = mp$$ Como $x, y < p/2$, tienes: $$mp = x^2 + y^2 + 1 < \left(\frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{2}\right)^2 + 1 = \frac{p^2}{2} + 1 < p^2$$ Por lo tanto, $0 < m < p$.

Paso 3: Descenso Infinito Sea $m$ el entero positivo más pequeño tal que $mp$ es la suma de cuatro cuadrados: $$mp = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$$ La idea es mostrar que $m=1$. Supón por contradicción que $m > 1$.

Caso A: $m$ es par. Si $m$ es par, entonces $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$ es par. Esto implica que las $x_i$ son todas pares, todas impares, o dos son pares y dos son impares. En cualquier caso, puedes reordenarlas de tal forma que $x_1 \equiv x_2 \pmod 2$ y $x_3 \equiv x_4 \pmod 2$. Entonces $\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1-x_2}{2}, \frac{x_3+x_4}{2}, \frac{x_3-x_4}{2}$ son enteros. Puedes escribir: $$\frac{m}{2}p = \left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{x_3-x_4}{2}\right)^2$$ Esto da una representación para un múltiplo más pequeño $\frac{m}{2}p$, lo que contradice la minimalidad de $m$.

Caso B: $m$ es impar y $m > 1$. Define $y_i \equiv x_i \pmod m$ tales que $-\frac{m}{2} < y_i < \frac{m}{2}$. (Estos son los residuos absolutos mínimos). Nota que no todas las $y_i$ son cero, de lo contrario todas las $x_i$ serían múltiplos de $m$, lo que implicaría que $mp$ es divisible por $m^2$, así que $p$ sería divisible por $m$, lo cual es imposible porque $1 < m < p$. Tienes: $$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 \equiv x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \equiv mp \equiv 0 \pmod m$$ Así que $\sum y_i^2 = nm$ para algún entero $n$. Como $|y_i| < m/2$, tienes: $$nm = \sum y_i^2 < 4\left(\frac{m}{2}\right)^2 = m^2 \implies n < m$$ También $n > 0$ porque no todas las $y_i$ son cero.

Ahora, multiplica las ecuaciones $mp = \sum x_i^2$ y $nm = \sum y_i^2$: $$m^2 np = \left(\sum x_i^2\right) \left(\sum y_i^2\right)$$ Usando la Identidad de Euler, el lado derecho es una suma de cuatro cuadrados $Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2$. Mirando las fórmulas para $Z_i$ (por ejemplo, $Z_1 = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4$), puedes verificar que cada $Z_i$ es divisible por $m$. Por ejemplo: $$Z_1 = \sum x_i y_i \equiv \sum x_i^2 \equiv mp \equiv 0 \pmod m$$ Sea $Z_i = m w_i$. Entonces: $$m^2 np = (mw_1)^2 + (mw_2)^2 + (mw_3)^2 + (mw_4)^2$$ Dividiendo entre $m^2$: $$np = w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2$$ Como $0 < n < m$, has encontrado una representación de un múltiplo más pequeño de $p$ como suma de cuatro cuadrados. Esto contradice la suposición de que $m$ era el entero más pequeño con esa propiedad.

Por lo tanto, $m$ debe ser 1, y $p = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$. $\square$