Número de Divisores $\tau(n)$

Teoría

La función divisor $\tau(n)$ (que también se escribe seguido como $d(n)$) cuenta cuántos números enteros positivos dividen a un número natural $n$, incluyendo al $1$ y al mismo $n$. Esta función es una de las funciones aritméticas fundamentales en la teoría de números. Aunque puedes calcular $\tau(n)$ para números chiquitos simplemente contando, para números grandes vas a necesitar el Teorema Fundamental de la Aritmética. La idea clave es que los divisores de $n$ dependen totalmente de los exponentes en la factorización prima de $n$.

Este concepto es súper importante en las olimpiadas de matemáticas porque convierte un problema de divisibilidad en uno de combinatoria. En lugar de buscar factores uno por uno, cuentas de cuántas formas puedes armar un divisor usando los "ingredientes" primos que tienes. La función $\tau(n)$ es "multiplicativa", lo que significa que $\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)$ siempre que $\gcd(m,n)=1$. Esta propiedad te permite separar problemas complejos en partes más simples basadas en potencias de primos.

Una de las aplicaciones más comunes de $\tau(n)$ en concursos como el AMC 12 o el AIME es identificar números con propiedades específicas, como tener una cantidad impar de divisores. Un teorema clave dice que $\tau(n)$ es impar si y solo si $n$ es un cuadrado perfecto. Esta lógica también sirve para encontrar números con exactamente 3 divisores (cuadrados de primos) o 4 divisores (cubos de primos o productos de dos primos distintos), dándote una forma organizada de filtrar números según su estructura de factores.

Fórmulas Clave

Factorización Prima: Para un entero $n > 1$, toma su factorización prima como: $$n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$$ donde $p_1, p_2, \dots, p_k$ son números primos distintos y $e_1, e_2, \dots, e_k$ son enteros positivos.

Fórmula Principal: El número de divisores de $n$ se obtiene multiplicando cada exponente sumándole uno: $$\tau(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k + 1) = \prod_{i=1}^{k} (e_i + 1)$$

Propiedad Multiplicativa: Si $\gcd(m, n) = 1$, entonces: $$\tau(mn) = \tau(m)\tau(n)$$

Paridad de $\tau(n)$: $$\tau(n) \text{ es impar } \iff n \text{ es un cuadrado perfecto}$$

Producto de los Divisores: El producto de todos los divisores positivos de $n$, que escribimos como $P(n)$, es: $$P(n) = n^{\frac{\tau(n)}{2}}$$

Demostración

Teorema: Para un número natural $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$, el número de divisores es $\tau(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k + 1)$.

Demostración: Toma un divisor cualquiera $d$ de $n$. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, cualquier divisor $d$ tiene que estar formado por los mismos factores primos que $n$, pero con exponentes menores o iguales a los que aparecen en $n$.

Por lo tanto, $d$ tiene que verse así: $$d = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$$

Para que $d$ divida a $n$, el exponente $a_i$ de cada primo $p_i$ debe cumplir la desigualdad: $$0 \le a_i \le e_i$$

Puedes encontrar el número total de divisores posibles contando cuántas opciones válidas tienes para cada exponente $a_i$:

1. Para el primer factor primo $p_1$, el exponente $a_1$ puede ser cualquier entero del conjunto ${0, 1, 2, \dots, e_1}$. Tienes exactamente $e_1 + 1$ opciones.
2. Para el segundo factor primo $p_2$, el exponente $a_2$ puede ser cualquier entero del conjunto ${0, 1, 2, \dots, e_2}$. Tienes exactamente $e_2 + 1$ opciones.
3. Siguiendo este patrón, para el $k$-ésimo factor primo $p_k$, puedes elegir el exponente $a_k$ de $e_k + 1$ formas.

Como la elección del exponente para un primo es independiente de la elección para cualquier otro, aplicas el Principio Multiplicativo (o Principio Fundamental del Conteo). El número total de divisores distintos es el producto de la cantidad de opciones para cada exponente:

$$\tau(n) = (e_1 + 1) \times (e_2 + 1) \times \cdots \times (e_k + 1)$$

$\square$