Calculando σ(n) con la factorización prima.
La función suma de los divisores, que escribimos como $\sigma(n)$ (o a veces $\sigma_1(n)$), es una función aritmética que calcula la suma de todos los enteros positivos que dividen a $n$, incluyendo al $1$ y al mismo $n$. Por ejemplo, los divisores de $6$ son $1, 2, 3$ y $6$, así que $\sigma(6) = 1+2+3+6 = 12$. Esta función es fundamental en la teoría de números y aparece seguido en concursos como el AMC 12 y el AIME. Es clave para estudiar los números perfectos (donde $\sigma(n) = 2n$), los números abundantes y varios problemas de aritmética modular.
Aunque podrías calcular $\sigma(n)$ haciendo una lista de cada divisor y sumándolos, este método se vuelve imposible de hacer para números grandes. El poder de este concepto está en el Teorema Fundamental de la Aritmética. Como cada entero $n > 1$ tiene una factorización prima única, puedes determinar la suma de sus divisores basándote solo en estos factores primos y sus exponentes. Esto es posible porque $\sigma(n)$ es una función multiplicativa, lo que significa que si dos números $a$ y $b$ son primos relativos ($\gcd(a,b)=1$), entonces $\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(