Números Perfectos

Teoría

Un número perfecto es un entero positivo $n$ que es igual a la suma de sus divisores propios positivos (los divisores sin contar al mismo número). De forma equivalente, en el lenguaje de las funciones aritméticas, un número es perfecto si la suma de todos sus divisores positivos, que escribimos con la función divisor $\sigma(n)$, es igual al doble del número: $\sigma(n) = 2n$. Los primeros dos números perfectos son el $6$ (divisores $1, 2, 3$; suma $1+2+3=6$) y el $28$ (divisores $1, 2, 4, 7, 14$; suma $1+2+4+7+14=28$).

El estudio de los números perfectos está muy ligado a los primos de Mersenne. Un resultado fundamental en la teoría de números elemental, el Teorema de Euclid-Euler, establece una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los primos de la forma $2^p - 1$ (primos de Mersenne). Esta conexión te permite generar números perfectos pares checando si $2^p - 1$ es primo. Aunque ya es un hecho que hay infinitos números primos, todavía no se sabe si hay infinitos primos de Mersenne y, por lo tanto, si hay infinitos números perfectos.

En las olimpiadas de matemáticas (AMC 12, AIME), los problemas que involucran números perfectos suelen pedirte que manipules la función $\sigma(n)$ usando la factorización en primos. Las ideas clave suelen involucrar aprovechar la propiedad multiplicativa de $\sigma(n)$ o analizar las propiedades geométricas y modulares específicas de los números perfectos pares (por ejemplo, que todos son números triangulares). Un gran problema abierto en las matemáticas es la existencia de un número perfecto impar; hasta la fecha no se ha encontrado ninguno, y cualquier número de este tipo tendría que cumplir con cotas inferiores extremadamente restrictivas.

Fórmulas Clave

Definición Un entero positivo $n$ es perfecto si: $$ \sigma(n) = \sum_{d|n} d = 2n $$ donde lo que escribimos como $\sigma(n)$ es la función de suma de divisores.

Teorema de Euclid-Euler Un entero par $n$ es un número perfecto si y solo si tiene la forma: $$ n = 2^{p-1}(2^p - 1) $$ donde $2^p - 1$ es un número primo (lo que implica que $p$ también es primo).

Suma de Recíprocos Si $n$ es un número perfecto, la suma de los recíprocos de sus divisores es exactamente 2: $$ \sum_{d|n} \frac{1}{d} = \frac{\sigma(n)}{n} = \frac{2n}{n} = 2 $$

Propiedades de los Números Perfectos Pares Si $n$ es un número perfecto par:

1. $n$ es un número triangular: $n = \frac{k(k+1)}{2}$ donde $k = 2^p - 1$.
2. $n \equiv 1 \pmod 9$ (excepto para $n=6$).
3. El último dígito de $n$ siempre es $6$ u $8$.

Demostración

Teorema (Euler): Si $n$ es un número perfecto par, entonces $n$ debe tener la forma $2^{k-1}(2^k - 1)$, donde $2^k - 1$ es primo.

Demostración: Toma un número perfecto par $n$. Puedes factorizar la potencia más alta de 2 que divide a $n$, escribiendo $n$ como: $$ n = 2^{k-1}m $$ donde $m$ es un entero impar y $k \ge 2$.

Como $\sigma$ es una función multiplicativa y $\gcd(2^{k-1}, m) = 1$, tienes que: $$ \sigma(n) = \sigma(2^{k-1}m) = \sigma(2^{k-1})\sigma(m) $$ Usando la fórmula para la suma de divisores de una potencia de un primo, $\sigma(2^{k-1}) = \frac{2^{(k-1)+1}-1}{2-1} = 2^k - 1$. Entonces: $$ \sigma(n) = (2^k - 1)\sigma(m) $$ Por la definición de un número perfecto, $\sigma(n) = 2n$. Sustituyendo $n = 2^{k-1}m$: $$ \sigma(n) = 2(2^{k-1}m) = 2^k m $$ Igualando las dos expresiones para $\sigma(n)$: $$ (2^k - 1)\sigma(m) = 2^k m $$ Como $2^k - 1$ es impar, $\gcd(2^k - 1, 2^k) = 1$. Por lo tanto, $2^k - 1$ debe dividir a $m$. Escribe $m = (2^k - 1)x$ para algún entero $x$.

Sustituye $m$ de nuevo en la ecuación: $$ (2^k - 1)\sigma(m) = 2^k (2^k - 1)x $$ Al dividir ambos lados entre $(2^k - 1)$ obtienes: $$ \sigma(m) = 2^k x $$ Sabes que $m = (2^k - 1)x$. Esto implica que $x$ es un divisor de $m$, y $m$ mismo obviamente es un divisor de $m$. Si sumas estos dos divisores específicos: $$ x + m = x + (2^k - 1)x = x + 2^k x - x = 2^k x $$ Fíjate que esta suma es exactamente igual a $\sigma(m)$. Como $\sigma(m)$ es la suma de todos los divisores positivos de $m$, y $x + m = \sigma(m)$, tiene que ser que $x$ y $m$ son los únicos divisores de $m$.

Para que un número $m$ tenga solo dos divisores, debe ser primo, y sus divisores deben ser el $1$ y él mismo. Por lo tanto: $$ x = 1 \quad \text{y} \quad m = (2^k - 1)(1) = 2^k - 1 $$ Como $m$ solo tiene dos divisores, $m = 2^k - 1$ tiene que ser un número primo.

Así, $n = 2^{k-1}(2^k - 1)$ donde $2^k - 1$ es primo. $\square$