Dados $1811$ números naturales distintos, cada uno de los cuales no excede $1991$. Sea $m$ el menor de ellos. Demuestre que existen dos números entre ellos cuya diferencia es igual a $10m$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 4:09 PM Y por Si $P(x)$ es un polinomio con coeficientes reales y para cualesquiera $a$ , $b$ , $c$ , $d$ que forman una progresión aritmética tales que \[|P(a)-P(d)|\ge4\cdot|P(b)-P(c)|,\] encuentre $P(x)$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 4:10 PM Y por Demuestre que la ecuación $x^n+y^n=z^n$ $(n\ge3)$ no tiene ninguna solución en números naturales tal que $x$ , $y$ , $z$ formen una progresión aritmética. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:26 a. m. • 1 Y Y por cubres Sean dos círculos en el plano que se encuentran en el exterior del otro (es decir, no se intersecan), y sea un punto dado en cada círculo. Construya dos círculos de igual radio que sean tangentes a los círculos dados y que se intersequen en el segmento de recta que une los puntos dados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 6 de sep. de 2018, 8:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ el círculo de centro $O$ y radio $R$ , y sean $A, A'$ dos puntos diametralmente opuestos en $S$ . Sea $P$ el punto medio de $OA'$ y $\ell$ una recta que pasa por $P$ , distinta de $AA'$ y de la perpendicular a $AA'$ . Sean $B$ y $C$ los puntos de intersección de $\ell$ con $S$ y sea $M$ el punto medio de $BC$ . a) Sea $H$ el pie de la altura desde $A$ en el triángulo $ABC$ . Sea $D$ el punto de intersección de la recta $A'M$ con $AH$ . Determine el lugar geométrico del punto $D$ a medida que $\ell$ varía . b) La recta $AM$ corta a $OD$ en $I$ . Demuestre que $2 OI = ID$ y determine el lugar geométrico del punto $I$ a medida que $\ell$ varía . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 20 de jun. de 2022, 8:35 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Y por Hay un tablero con $n$ filas y $4$ columnas, y fichas blancas, amarillas y azul claro. El jugador $A$ coloca cuatro fichas en la primera fila del tablero y las cubre para que el jugador $B$ no las conozca. ¿Qué debe hacer el jugador $B$ para llenar el número mínimo de filas con fichas que aseguren que en cualquiera de las filas tendrá al menos tres aciertos? Aclaración: Un acierto del jugador $B$ ocurre cuando coloca una ficha del mismo color y en la misma columna que $A$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 1:40 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 1:42 p. m. Y por Encuentre todos los enteros $k$ para los cuales existe una función $f: N \to Z$ que satisface: (i) $f(1995) = 1996$ (ii) $f(xy) = f(x) + f(y) + kf(m_{xy})$ para todos los números naturales $x, y$, donde $m_{xy}$ denota el máximo común divisor de los números $x, y$. Aclaración: $N = \{1,2,3,...\}$ y $Z = \{...-2,-1,0,1,2,...\}$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:03 p. m. • 2 Y Y por ImSh95, k_rs52 Suponga que $n\ge3$ es un número natural. Encuentre el valor máximo $k$ tal que existen números reales $a_1,a_2,...,a_n \in [0,1)$ (no necesariamente distintos) tales que para todo número natural $j \le k$, la suma de algunos $a_i$ es $j$. Propuesto por Navid Safaei Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:20 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:19 p. m. Y sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Suponga que $AD \cap BC = E$ y $AC \cap BD = F$. La circunferencia $\omega$ es tangente a las rectas $AC$ y $BD$. $PQ$ es un diámetro de $\omega$ tal que $F$ es el ortocentro de $EPQ$. Demuestre que la recta $OE$ pasa por el centro de $\omega$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:20 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. AHZOLFAGHARI 128 publicaciones AHZOLFAGHARI #1 h 15 de mar. de 2023, 1:26 p. m. Y, partiendo de un número, calcula la suma de los cubos de los dígitos de dicho número, y nuevamente calcula la suma de los cubos de los dígitos del número resultante, continuando con el mismo proceso. Arman llama a un número $Good$ si llega a $1$ después de realizar una cantidad de pasos. Demuestre que existe una progresión aritmética de longitud $1402$ de números buenos. Propuesto por Navid Safaei. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por AHZOLFAGHARI, 17 de mar. de 2023, 2:19 a. m. Z K Y