Se tienen algunas pelotas de colores (son por lo menos tres colores), y por lo menos tres cajas. Las pelotas se ponen en las cajas de manera que no quede vacía ninguna caja y que no haya tres pelotas de colores distintos que estén en tres cajas distintas. Muestra que hay una caja tal que todas las pelotas que están fuera de ella son del mismo color.

Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos y $S=a+b+c+d+e+f$. Supon que $S\mid abc+def$ y $S\mid ab+bc+ca-de-ef-fd$. Demuestra que $S$ es un numero compuesto.

Se construye un triángulo de números de la siguiente manera. La primera fila está formada por los números de $1$ a $2000$ en orden creciente, y debajo de dos números consecutivos cualesquiera se escribe su suma. ¿Cuál es el número de la última fila?

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, el conjunto $A'$ se compone de los elementos de $A$ y de todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera: Se escriben algunos elementos de $A$ uno tras otro sin repetir, se escribe un signo $+ $ o $-$ antes de cada uno de ellos, y se evalúa la expresión obtenida. El resultado se incluye en $A'$. Por ejemplo, si $A = \{2,8,13,20\}$, los números $8$ y $14 = 20-2+8$ son elementos de $A'$. El conjunto $A''$ se construye a partir de $A'$ de la misma manera. Halla el menor número posible de elementos de $A$, si $A''$ contiene todos los enteros de $1$ a $40$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > 90^o$ tal que existe un punto $H$ en el lado $AC$ con $AH = BH$ y $BH$ perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ paralela a $AB$ corta a $DE$ en $F$. Muestra que $\angle BCF = \angle ACD$.

Un tablero $n\times n$ está coloreado en blanco y negro como un tablero de ajedrez. Se pueden realizar los siguientes pasos: Elegir un rectángulo dentro del tablero (formado por casillas enteras) cuyas longitudes de los lados sean ambas impares o ambas pares, pero no ambas iguales a $1$, e invertir los colores de todas las casillas dentro del rectángulo. Determina los valores de $n$ para los que es posible hacer que todas las celdas tengan el mismo color en un número finito de dichos pasos.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos que no son múltiplos de $5$. Se construye una sucesión de enteros como sigue: el primer término es $5$, y cada término siguiente se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y añadiendo $b$. (Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, los tres primeros términos son $5,14,32$.) ¿Cuál es el máximo número posible de números primos en la secuencia que pueden aparecer antes de que haya un término compuesto?

Sean $a,b,c,d$ numeros reales tales que $b-d\geq 5$ y tal que las raices $x_1,x_2,x_3,x_4$ del polinomio $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ son todas reales. Encuentra el minimo valor posible del producto $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1).$$

Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4+n^2+1$ es el mayor divisor primo de $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Elmo llama "delicioso" a un polinomio monico si todos sus coeficientes estan en el rango $[-1,1]$. Un polinomio monico $P$ con coeficientes reales y raices compleja $\chi_1,\ldots, \chi_m$ (con multiplicidad) se le da a Elmo, y descubre que no existe un polinomio monico $Q$ con coeficientes reales tal que $PQ$ sea delicioso. Encuentra todos los posibles valores de $\max (|\chi_1|,\ldots, |\chi_m|)$.