Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y con el ángulo $\angle CMD$ recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto medio de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Muestra que el ángulo $\angle AKB$ es recto y que $\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB}=1$.

Encuentra todos los números enteros de $7$ dígitos que son múltiplos de $3$ y de $7$, y cada uno de cuyos dígitos es $3$ o $7$.

Una ficha de dominó tiene dos números (que pueden ser iguales) entre $0$ y $6$. Las fichas se pueden voltear, es decir, $\boxed 4\boxed 5$ es la misma ficha que $\boxed 5\boxed 4$. Se quiere formar una hilera de fichas de dominó distintas de manera que en cada momento de la construcción de la hilera, la suma de todos los números de fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos lados de la hilera, es decir, de manera que en cualesquiera dos fichas consecutivas aparezca el mismo número en los extremos que se juntan. Por ejemplo, se podría hacer la hilera: $\boxed 1\boxed 3$, $\boxed 3\boxed 4$, $\boxed 4\boxed 4$, en la que se colocó primero la ficha del centro y luego la de la izquierda para mantener la suma impar. ¿Cuál es la mayor cantidad de fichas que de pueden colocar en una hilera? ¿Cuántas hileras de esa longitud máxima se pueden construir?

Sea $ABCD$ un paralelogramo y $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABD$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $\Gamma$ con los lados $BC$ y $CD$ (o sus prolongaciones), respectivamente. Muestra que el circuncentro del triángulo $CEF$ está en $\Gamma$.

Sea $n$ un entero positivo. Entre los divisores positivos de $n^2$, ¿Hay más de la forma $4k+1$ o $4k-1$?

Existen circunferencias $A,B,C,D$ en el plano tales que las circunferencias $A$ y $B$ son tangentes externamente en $P, B$ y $C$ en $Q, C$ y $D$ en $R$, y $D$ y $A$ en $S$. Las circunferencias $A$ y $C$ no se encuentran, ni tampoco $B$ y $D$. Muestra que los puntos $P,Q,R,S$ se encuentran en una misma circunferencia. Supongamos que $A$ y $C$ tienen radio $2, B$ y $D$ tienen radio $3$, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es $6$. Calcula el área del cuadrilátero $PQRS$.

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$ se forma una lista de $2001$ números enteros como sigue: El primer número es $a$; a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir el cuadrado del anterior entre $n$. A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$ alternadamente empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$. ¿Para qué números enteros $n\geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2\leq a \leq \frac{n}{2}$ y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

En un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. Una circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$, respectivamente. Se toma un punto $S$ en el segmento $BD$ de tal manera que $BS=DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Muestra que $AT=RC$.

Se tienen algunas pelotas de colores (son por lo menos tres colores), y por lo menos tres cajas. Las pelotas se ponen en las cajas de manera que no quede vacía ninguna caja y que no haya tres pelotas de colores distintos que estén en tres cajas distintas. Muestra que hay una caja tal que todas las pelotas que están fuera de ella son del mismo color.

Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1,2,3,\dots,n$ (tiene muchas monedas de cada denominación). Desea poner algunas de sus monedas en $5$ cajas de manera que se cumplan las siguientes condiciones: a) En cada caja hay a lo más una moneda de cada denominación. b) Todas las cajas tienen el mismo número de monedas y la misma cantidad de dinero. c) Para cualesquiera dos cajas sucede que entre las dos tienen por lo menos una moneda de cada denominación. d) No existe una denominación tal que todas las cajas tengan una moneda de esta denominación ¿Para qué valores de $n$ puede el coleccionista hacer lo que se propone?