Al escribir un entero $n\ge1$ como potencia de $2$ o como suma de potencias de $2$, donde cada potencia aparece a lo más dos veces en la suma, se tiene una "representación buena" de $n$. Escriba las $5$ representaciones buenas de $10$ y determine que enteros positivos admiten un número par de representaciones buenas.

Disponemos de $n \geq 2$ fichas numeradas del $1$ al $n$. Se colocan, no necesariamente en orden, formando un círculo. Empezamos en la ficha con el número $1$. En cada turno, si estamos en la ficha con el número $i$, saltamos a la que está $i$ lugares más adelante, siempre en el sentido de las agujas del reloj. Determina todos los valores de $n$ tales que es posible ordenar las fichas de manera que visitamos todas ellas.

En el trapecio $ABCD$ de bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $BC=a,MC=b$ y el ángulo $MCB$ mide $150^o$, halla el área del trapecio $ABCD$ en función de $a$ y $b$.

Sea $a$ un entero positivo impar mayor que $17$, tal que $3a-2$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que existen enteros positivos distintos $b$ y $c$, tales que $a+b,a+c,b+c$ y $a+b+c$ son cuatro cuadrados perfectos.

Determina todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que la igualdad \[f(x+yf(x+y))+xf(x)=f(xf(x+y+1))+y^2\] es verdadera para cualesquiera números reales $x,y$.

Lucía multiplica varios números positivos de una cifra (posiblemente repetidos) y obtiene un entero $n$ mayor que $10$. Luego multiplica todas las cifras de $n$ y obtiene un número impar. Determina todos los posibles valores de las cifras de las unidades de $n$.

Sea $ABC$ un triágulo con incentro $I$ y sea $\Gamma$ el excírculo opuesto al vértice $A$. Suponga que $\Gamma$ es tangente a las rectas $BC$, $AC$, y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Suponga que las rectas $IA_1$, $IB_1$ e $IC_1$ intersectan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $A_2$, $B_2$ y $C_2$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $AA_1$. Si las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se intersectan en $X$ y las rectas $A_1C_1$ y $A_2C_2$ se intersectan en $Y$. Demuestre que $MX=MY$.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ es húngara si - $a_1$ es un cuadrado perfecto, y - para todo entero $n\ge 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1+(n-1)a_2+\dots+2a_{n-1}+a_n\] es un cuadrado perfecto. Prueba que si $a_1, a_2, \dots$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Celeste tiene un número ilimitado de dulces de cada uno de $n$ tipos distintos, etiquetados tipo $1$, tipo $2$,$\dots$, tipo $n$. Inicialmente ella toma $m\gt 0$ dulces y los pone en fila sobre una mesa. Después escige repetidamente una de las siguientes operaciones y la ejecuta (puede que no tenga siempre ambas opciones). 1. Ella se come un dulce de tipo $k$ y pone en su lugar dos dulces: uno de tipo $k-1$ seguido por uno de tipo $k+1$. Consideramos el tipo $n+1$ como tipo $1$, y el tipo $0$ como tipo $n$. 2. Ella escoge dos dulces del mismo tipo que sean adyacentes y se los come Determina todos los enteros positivos $n$ para los que Celeste puede dejar la mesa vacía después de realizar un número finito de las operaciones anteriores, para todo valor de $m$ y toda configuración de dulces en la mesa.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC < AB$ y $BC < AC$. Considere los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P \neq B$, $Q \neq C$ y $BQ = BC = CP$. Sea $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Prueba que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.