Sea $ ABC$ un triángulo, $ D$ el punto medio de $ BC$, $ E$ un punto del segmento $ AC$ tal que $ BE = 2AD$ y $ F$ el punto de intersección de $ AD$ con $ BE$. Si $\angle DAC = 60^{\circ}$, halla la medida del ángulo $\angle FEA$.

Encuentra un conjunto de infinitos enteros positivos $ S$ tal que para cada $ n\ge 1$ y cualesquiera $ n$ elementos distintos $ x_1,x_2,\cdots, x_n$ de S, el número $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ no es un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los números naturales de tres dígitos $abc$ ($a\ne0$) tales que $a^2+b^2+c^2$ es divisor de $26$.

Las cifras de una calculadora (a excepción del $0$) están dispuestas en la forma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece también la tecla '$+$'. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan de la manera siguiente: $A$ enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa la tecla $+$. Pasa la calculadora a $B$, que pulsa una cifra en la misma fila o columna que la pulsada por $A$ que no sea la misma que la última pulsada por $A$; a continuación pulsa $+$ y le devuelve la calculadora a $A$, que repite la operación y así sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma $31$. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es esta?

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P,Q,R,S$ los baricentros de los triángulos $ABE,BCE,CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demuestra que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es igual a $2/9$ el área del cuadrilátero $ABCD$.

Encuentra un entero positivo $n$ de $1000$ cifras, todas distintas de cero, con la siguiente propiedad: es posible agrupar las cifras de $n$ en $500$ parejas de tal manera que si multiplicamos las dos cifras de cada pareja y sumamos los $500$ productos obtenemos como resultado un número $m$ que es divisor de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ y $C_1$ corta al lado $CA$ en el punto $E$. Además, $\overline{BE}$ corta a $C_2$ en $P$ y $\overline{CF}$ corta a $C_1$ en $Q$. Demuestra que $AP=AQ$.

Determina todos los enteros $n\ge1$ para los cuales es posible construir un rectángulo de lados $15$ y $n$ con piezas congruentes a las que se muestran a continuación.

Se supone que $5$ personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona $A$ llama a la persona $B$, $A$ le da a $B$ toda la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que $B$ no le dice nada de él. ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre el asunto? ¿Cuántas llamadas son necesarias si son $n$ personas?

Considere el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $B$ y el punto medio del lado $AC$. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $AB$. La recta $\ell$ y la circunferencia $\Gamma$ se intersectan en el punto $P$, diferente de $B$. Muestra que la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $C$ y $P$ es tangente a la recta $BC$ en $C$.