Alex y luisa son una pareja de ladrones. Todas las mañanas, Luisa roba un tercio del dinero de Alex, pero por la tarde siente remordimientos y le da la mitad de todo el dinero que tiene. Si Luisa no tiene dinero al principio y empieza a robar el primer día, ¿cuál es la menor cantidad entera positiva de dinero que debe tener Alex para que al final del día 2012 ambos tengan una cantidad entera de dinero?

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < BC$, y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$ tales que $BF = BC = CE$, ambos en el mismo semiplano que $A$ respecto a $BC$. Sea $G$ la intersección de $BE$ y $CF$. Sea $H$ un punto de la paralela que pasa por $G$ a $AC$ tal que $HG = AF$ (con $H$ y $C$ en semiplanos opuestos respecto a $BG$). Demuestra que $\angle EHG = \frac{\angle BAC}{2}$.

Sea $\gamma$ la circunferencia del triángulo agudo $ABC$. Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$. La paralela a $AB$ que pasa por $P$ corta a $BC, AC$ y $\gamma$ en los puntos $R,S$ y $T$, respectivamente. Sean $K \equiv AP \cap BT$ y $L \equiv BS \cap AR$. Demuestra que $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y sólo si $CS = PR$.

En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el pie de la altitud que pasa por $A$, $E$ es la intersección de $AC$ con la bisectriz del $\angle ABC$ y $F$ es un punto de $AB$. Sea $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X=AD\cap BE$, $Y=BE\cap CF$, $Z=CF \cap AD$. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ debe ser equilátero.

Considere un cubo con una mosca en cada uno de sus vértices. Cuando suena un silbato, cada mosca se desplaza a un vértice de la misma cara que el anterior pero diagonalmente opuesto a él. Después de que suene el silbato, ¿de cuántas maneras pueden cambiar de posición las moscas para que no haya ningún vértice con 2 o más moscas?

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de contacto del incírculo con los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ desde $R$, $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se encuentran en un punto. Muestra que este punto pertenece a la recta que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$, $r$ tales que $p$ y $q$ son números primos y $$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}.$$

Queremos colocar números naturales alrededor de un círculo de forma que los valores absolutos de las diferencias de cada par de números vecinos son todos diferentes. ¿Es posible colocar los números del $1$ al $2009$ satisfaciendo esta propiedad? ¿Es posible quitar uno de los números del $1$ al $2009$ de forma que los restantes números del $2008$ puedan colocarse satisfaciendo la propiedad?

Consideremos una circunferencia $S$, y un punto $P$ fuera de ella. Las líneas tangentes desde $P$ se encuentran con $S$ en $A$ y $B$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ se encuentra con $S$ en un punto $C$ que está dentro del triángulo $ABP$. $AC$ corta a $PM$ en $G$, y $PM$ se encuentra con $S$ en un punto $D$ que está fuera del triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralela a $AC$. Demuestra que $G$ es el centroide del triángulo $ABP$.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes centradas en $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto de $\Gamma$, $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$, y $D$ es un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demuestra que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.