Determina todas las parejas de polinomios no constantes $p(x)$ y $q(x)$, cada uno con coeficiente principal $1$, grado $n$ y $n$ raíces enteras no negativas, tales que $p(x)-q(x)=1$.

Encuentra todos los números enteros positivos que son iguales a $700$ veces la suma de sus dígitos.

Ana y Beatriz alternan turnos en un juego que se inicia con un cuadrado de lado $1$ dibujado en un tablero infinito. Cada jugada consiste en dibujar un cuadrado que no se superponga con la figura ya dibujada, de manera que uno de sus lados sea un lado (completo) del rectángulo que está dibujado. Gana el juego aquella persona que logre completar una figura cuya área sea múltiplo de $5$. Si Ana realiza la primera jugada, ¿existe estrategia ganadora para alguna jugadora?

Encuentra todos los números enteros positivos $N$ tales que un tablero de $N\times N$ pueda ser embaldosado usando baldosas de tamaño $5\times 5$ o $1\times 3$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. La bisectriz del ángulo $A$ interseca a $BC$ en $D$, a $\Gamma$ en $K$ (distinto de $A$), y a la tangente a $\Gamma$ por $B$ en $X$. Demuestra que $K$ es el punto medio de $AX$ si y solo si $\frac{AD}{DC}=\sqrt2$.

En un triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ y las cevianas $BD$ y $CE$ coinciden en un punto $P$ del interior del triángulo. Demuestra que el cuadrilátero $ADPE$ tiene un círculo interior si y sólo si $AB=AC$.

Denotemos por $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encuentra todas las soluciones de la ecuación $n(S(n)-1)=2010.$

En una isla remota se habla un idioma en el que cada palabra puede escribirse utilizando sólo las letras $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$. Digamos que dos palabras son "sinónimas" si podemos transformar una en la otra según las siguientes reglas: Cambiar una letra por otras dos de la siguiente manera: $$a \rightarrow bc, b \rightarrow cd, c \rightarrow de, d \rightarrow ef, e \rightarrow fg, f \rightarrow ga, g \rightarrow ab.$$ Si una letra se encuentra entre otras dos letras iguales, éstas se pueden eliminar. Por ejemplo, $dfd\to f$. Demuestra que todas las palabras de este lenguaje son sinónimas.

Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} =1$ y $ab+bc+ac >0$. Demuestra que \[ a+b+c - \frac{abc}{ab+bc+ac} \ge 4 .\]

Trilandia es una ciudad muy singular. La ciudad tiene la forma de un triángulo equilátero de lado 2012. Las calles dividen la ciudad en varias manzanas con forma de triángulo equilátero de lado 1. También hay calles en la frontera de Trilandia. Hay 6036 calles en total. El alcalde quiere poner puestos de vigilancia en algunas intersecciones de la ciudad para controlar las calles. Un punto de control puede vigilar todas las calles en las que se encuentra. ¿Cuál es el menor número de puntos de control necesarios para vigilar todas las calles de Trilandia?