Sean $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ cinco puntos tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es cíclico. Sea $\ell$ una línea que pasa por $A$, interseca el interior del segmento $DC$ en $F$, e interseca a la línea $BC$ en $G$. Supón también que $EF=EG=EC$. Muestra que $\ell$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAB$.

Sea $n$ un entero positivo. Sea \[ S = \left\{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \right \} \] un conjunto de $ (n + 1)^{3} - 1$ puntos en el plano tridimensional. Encuentra el menor número de planos tales que su unión contiene a $S$ pero no a $(0,0,0)$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Muestra que si $4ab-1$ divide a $(4a^{2} - 1)^{2}$, entonces $a=b$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Muestra que $AP\geq AI$, y que la igualdad se da si y sólo si $P=I$.

En el triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $BCA$ interseca el circuncírculo de nuevo en $R$, la mediatriz de $BC$ en $P$, y la mediatriz de $AC$ en $Q$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $BC$ y $AC$, respectivamente. Muestra que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen la misma área.

Sea $P$ un polígono regular de $2006$ lados. Una diagonal es "buena" si sus extremos dividen el borde de $P$ en dos partes, cada una compuesta de un número impar de lados de $P$. Los lados de $P$ también son buenos. Supongamos que $P$ ha sido dividido en triángulos por $2003$ diagonales que no se intersecan dentro de $P$. Encuentra el mayor número de triángulos isósceles con dos lados buenos que podrían aparecer en dicha configuración.

Encuentra todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Encuentra el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] es cierta para todos los números reales $a$, $b$ y $c$.

A cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ se le asigna el área máxima de un triángulo con lado $b$ contenido en $P$. Muestra que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n>1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$, donde $P$ se itera $k$ veces. Muestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.