Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$, y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$, y $PQ$, respectivamente, y sea $\Gamma$ el circuncírculo que pasa por $K$, $L$ y $M$. Muestra que $OP=OQ$ si $PQ$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Si $\angle BEK=45^\circ$, encuentra todos los valores posibles del ángulo $\angle CAB$.

Sean $a_1, a_2, \ldots , a_n$ enteros positivos distintos y $M$ un conjunto de $n-1$ enteros positivos que no contiene a $s=a_1 + a_2 + \ldots + a_n.$ Un saltamontes salta sobre la línea de los números reales, empezando en el $0$. Hace $n$ saltos a la derecha con longitudes $a_1, a_2, \ldots , a_n$ en algún orden. \nMuestra que el orden puede elegirse de manera que el saltamontes nunca pase por un número en $M$.

Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_k$ enteros distintos en el conjunto $\{ 1,2,\ldots,n\}$ tales que $n$ divide a $a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $i=1,2,\ldots,k-1$. Muestra que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Muestra que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un primo divisor mayor a $ 2n + \sqrt {2n}$.

Encuentra todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ tales que $ wx = yz.$

Sean $n$ y $k$ enteros positivos con $k\geq n$ tales que $k-n$ es par. Hay $2n$ lámparas numeradas $1,2,\dots,2n$, todas apagadas. Se puede hacer una secuencia de pasos: en cada paso una lámpara se cambia de estado (apagado a prendido o prendido a apagado). Sea $N$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas. Sea $M$ el número de secuencias de $k$ pasos tales que al final de la secuencia las lámparas $1$ a $n$ están todas prendidas, y las lámparas $n+1$ a $2n$ están todas apagadas, y a demás ninguna de las lámparas $n+1$ a $2n$ son prendidas durante la secuencia de pasos. Encuentra $\frac{N}{M}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los incírculos de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Supón que existe un círculo $\omega$ tangente a $BA$ más allá de $A$ y a $BC$ más allá de $C$, que además es tangente a $AD$ y $CD$. Muestra que las tangentes externas comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan sobre $\omega$.

En una competencia matemática, algunos participantes son amigos (la amistad es mutua). Llamamos a un grupo de participantes una pandilla si cualesquiera dos miembros son amigos (los grupos de 1 participante son pandillas). El número de miembros de una pandilla es su tamaño. Si el mayor tamaño de una pandilla en la competencia es par, muestra que los participantes se pueden separar en dos habitaciones tales que el tamaño de la mayor pandilla en cada habitación es igual.

Sean $a_1, a_2, \dots a_n$ números reales. Para cada $i$, $ (1 \leq i \leq n )$, definimos \[ d_{i} = \max \{ a_{j}\mid 1 \leq j \leq i \} - \min \{ a_{j}\mid i \leq j \leq n \}, \] y sea $d = \max \{d_{i}\mid 1 \leq i \leq n \}$. - Muestra que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$, \[ \max \{ |x_{i} - a_{i}| \mid 1 \leq i \leq n \}\geq \frac {d}{2}. \quad \quad (*) \] - Muestra que existen números reales $x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_n$ que cumplen la igualdad en $(*)$.