Los números reales $a,b,c,d$ son tales que $a\ge b\ge c\ge d\gt 0$ y $a+b+c+d=1$. Demuestra que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1.\]

Sea $n \gt 1$ un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay $n^2$ estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, $A$ y $B$, operan $k$ teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los teleféricos de la compañía $A$ parten de $k$ estaciones diferentes y acaban en $k$ estaciones diferentes; igualmente, si un teleférico parte de una estación más alta que la de otro, también acaba en una estación más alta que la del otro. La compañía $B$ satisface las mismas condiciones. Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar por la más baja y llegar a la más alta con uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite otro tipo de movimientos entre estaciones). Determina el menor entero positivo $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones unidas por ambas compañías.

Hay $4n$ piedritas de pesos $1, 2, 3, \dots , 4n$. Cada piedrita se colorea de uno de $n$ colores de manera que hay cuatro piedritas de cada color. Demuestre que podemos colocar las piedritas en dos montones de tal forma que las siguientes dos condiciones se satisfacen: -Los pesos totales de ambos montones son iguales. -Cada montón contiene dos piedritas de cada color.

Se tiene una baraja de $n \gt 1$ cartas, con un entero positivo escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números escritos en cada par de cartas es también la media geométrica de los números escritos en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué valores de $n$ se tiene que los números escritos en las cartas son todos iguales?

Prueba que existe una constante positiva $c$ para la que se satisface la siguiente afirmación: Sea $n \gt 1$ un entero y sea $S$ un conjunto de $n$ puntos del plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes de $S$ es al menos $1$. Entonces existe una recta $\ell$ separando $S$ tal que la distancia de cualquier punto de $S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$. (Una recta $\ell$ separa un conjunto de puntos $S$ si $\ell$ corta a alguno de los segmentos que une dos puntos de $S$.) Nota. Los resultados más débiles que se obtienen al sustituir $cn^{-1/3}$ por $cn^{-\alpha}$ se podrán valorar dependiendo del valor de la constante $\alpha \gt 1/3$.

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, \[f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]

En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$ distinto de $B_1$, con $B_1$ entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C = \angle BAC$. Análogamente, sea $Q_1$ un punto en la recta $QA_1$ distinto de $A_1$, con $A_1$ entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. Demuestra que los puntos $P$, $Q$, $P_1$, y $Q_1$ son concíclicos.

Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez: Tres usuarios $A$ ,$B$ ,y $C$ tales que $A$ es amigo de $B$ y de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian su estado de amistad de modo que $B$ y $C$ ahora son amigos, pero $A$ ya no es amigo ni de $B$ ni de $C$. Las otras relaciones de amistad no cambian. Inicialmente, hay $1010$ usuarios que tienen $1009$ amigos cada uno, y hay $1009$ usuarios que tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestra que hay una sucesión de este tipo de eventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otros usuarios.

Encontrar todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \]

El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k \gt 0$ monedas con la $H$ hacia arriba, Harry voltea la $k$-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la $T$ hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si $n = 3$ y la configuración inicial es $THT$, el proceso sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$, que se detiene después de tres operaciones. (a) Demuestra que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones. (b) Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$. Determinar el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2n$ posibles configuraciones iniciales de $C$.