$ABC$ es un triángulo, y $E$ y $F$ son puntos de los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1$ y $\angle CEF=\angle CAB$. Supongamos que $M$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es el punto de intersección entre $CM$ y $AB$. Demuestra que el triángulo $FEG$ es semejante al triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ el ortocentro y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $\ell$ la paralela que pasa por $M$ a la bisectriz del $\angle AHC$. Demuestra que $\ell$ divide el triángulo en dos partes de igual perímetro.

Definimos la secuencia $(a_n)$ como sigue: $a_0=a_1=1$ y para $k\ge 2$, $a_k=a_{k-1}+a_{k-2}+1$. Determina cuántos enteros entre $1$ y $2004$ inclusive se pueden expresar como $a_m+a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.

Las $n$ concursantes de cierta EGMO se llaman $C_1, \dots , C_n$. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas: El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado escoge un entero $i$ con $1 \le i \le n$. – Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga una moneda al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila. – Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina. (a) Muestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. (b) Determina para cada $n$ el máximo número de monedas que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a>1$ y $b>2$. \nDemuestra que $$a^b+1\ge b(a+1)$$ y determina cuándo hay desigualdad.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,1000\}$ con la propiedad de que ninguna suma de dos elementos diferentes en $S$ esté en $S$. Encuentra el número máximo de elementos de $S$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y tangente a $\Gamma$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle ABP = \angle QBC$.

$S_1$ y $S_2$ son dos circunferencias que se cruzan en dos puntos diferentes $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas tales que $\ell_1$ pasa por el punto $P$ y corta $S_1,S_2$ en $A_1,A_2$ respectivamente (ambos distintos de $P$), y $\ell_2$ pasa por el punto $Q$ y corta $S_1,S_2$ en $B_1,B_2$ respectivamente (ambos distintos de $Q$). Demuestra que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen el mismo perímetro.

Un tablero cuadrado con $8\text{cm}$ lados se divide en $64$ casillas con cada lado $1\text{cm}$. Cada casilla puede estar pintada de blanco o de negro. Halla el número total de formas de colorear el tablero para que cada cuadrado de lado $2\text{cm}$ formado por cuatro casillas con un vértice común contenga dos casillas blancas y dos negras.

En la figura, escribe un entero positivo dentro de cada triangulito, de manera que el número escrito en cada triangulito que tenga al menos dos vecinos sea igual a la diferencia de los números escritos en algún par de vecinos. Dos triangulitos son vecinos si comparten un lado.