Sobre cada lado de un paralelogramo se dibuja un cuadrado (hacia el exterior del paralelogramo y de manera que el lado del cuadrado sea el lado respectivo del paralelogramo). Prueba que los centros de los cuatro cuadrados son los vértices de otro cuadrado.

En una ciudad hay dos ríos paralelos $R$ y $S$ unidos por 10 calles y separados por otras 5 calles, de manera que las calles forman una cuadrícula. ¿Cuántas rutas de autobús se pueden diseñar del río $R$ al río $S$ si durante el recorrido total el autobús debe dar menos de 5 vueltas y no debe pasar dos veces por un mismo lugar?

Encuentra todas las parejas de enteros $(x, p)$ con $p$ primo y tales que $xp^2 - 3 imes 2^p = x^3$.

Se dispone de colchones de hule espuma que se van a encimar unos sobre otros (uno a la vez) para formar una torre. Unos colchones pesan 1 Kg y miden 1 cm de alto; otros pesan 2 Kg y miden 2 cm de alto. Cada vez que se coloca un colchón de 1 Kg encima de los que ya están apilados, todos los de abajo disminuyen su altura a la mitad, y cada vez que se coloca un colchón de 2 Kg encima de los que ya está apilados, todos los de abajo disminuyen su altura a la cuarta parte. Prueba que es posible encimar colchones de manera que la torre al final mida más que 2.666 cm, pero que no es posible lograr una altura final de $\frac{8}{3}$ cm.

En un triángulo $ABC$ un punto $D$ en el segmento $BC$ es tal que $BD = 2DC$. Sea $E$ el pie de la altura de $ABC$ por $B$ y sea $L$ la recta que pasa por $C$ y que es perpendicular a $AC$. Sea $O$ el punto sobre $L$ tal que $OB = OE$. Prueba que $D$, $E$ y $O$ está alineados.

¿Para qué enteros positivos $n$, se tiene que el mayor entero menor o igual que $\frac{n^2}{3}$ es un número primo?

Una sucesión de números $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ se construye como sigue: $a_0$ es un número entero positivo cualquiera menor o igual que 200 y, para $n \\geq 1$, $a_n = 5a_{n-1} - 2$ (es decir, cada término de la sucesión se obtiene restándole $2$ al resultado de multiplicar el término anterior por $5$). Determina (con demostración) cuáles de los siguientes pueden ser términos de la sucesión: 1000, 2003 y 6938.

Alrededor de una mesa redonda se encuentran sentadas $n$ personas, a quienes se les reparten $2n$ tarjetas (numeradas del $1$ al $2n$) de manera que una persona tiene las tarjetas $(1,2)$, la persona a su derecha las tarjetas $(3,4)$, a la derecha quedan $(5,6)$, etc. De manera simultánea, cada persona toma la tarjeta con el número menor (de las dos que tiene) y la pasa a quien esté sentado a su derecha. Este paso se repite una infinidad de veces.\\n(a) Demuestre que a partir de cierto momento, hay $n$ tarjetas que ya no se mueven.\\n(b) ¿Cuántos pasos son necesarios para alcanzar el momento mencionado en el inciso (a)?

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $M$ el punto medio de $AB$. La circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ es tangente a $AD$, $AM$ y $MC$. La circunferencia con centro $P$ y radio $R$ es tangente a $AD$, $DC$, $MC$ [image]\nDemuestre que $R = 2 \left(\frac{r}{r+1}\right)$

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(n, p)$ tales que $p$ es primo y $p^n - 9n = p^p$.