Sean $C$ y $C'$ dos círculos con centros en $O$ y $O'$, respectivamente, y tales que se intersecan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sea $L$ una recta por $P$ que intersecta a $C$ y $C'$ en dos puntos $B$ y $B'$, respectivamente. Sea $A$ el circuncentro de $BB'Q$. Probar que $A$ está en el circuncírculo de $O$, $O'$ y $Q$.

Dado un subconjunto $A$ de $\{1, 2, \ldots, n\}$, llamamos suma de $A$ a la suma de los elementos de $A$ (por ejemplo, si $A = \{1, 4, 8\}$, entonces la suma de $A$ es 13 y si $A = \{9\}$, entonces su suma es 9). El conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ quiere partirse en 12 subconjuntos (ajenos y no vacíos) con la misma suma. Hallar el menor $n$ para el cual esto es posible.

Sea $a_1, a_2, \ldots$ la sucesión definida por $a_1 = 1$ y, para $n \geq 2$, $$ a_n = (n-1)a_{n-1} + \cdots + ka_k + \cdots + 1a_1 + n. $$ ¿Para qué $n$'s es $a_n$ múltiplo de 9?

Ocho cajas numeradas del 1 al 8 están colocadas en una fila en orden de numeración. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 8 esferas de Navidad en las cajas si de cada uno de 4 colores distintos hay dos esferas iguales, en cada caja va una esfera y esferas del mismo color no deben quedar en cajas con numeración consecutiva?

Hay 25 tarjetas numeradas del 1 al 25 sobre la mesa formando una fila de izquierda a derecha (en orden). Se van a revolver como sigue: Se toma primero la carta que está más a la derecha, luego la que está más a la izquierda, y luego la que quedó más a la derecha, y luego a la izquierda y así sucesivamente. Se colocan otra vez en fila de izquierda a derecha. Esto se repite varias veces. (Por ejemplo, al finalizar el primer paso, el orden en que quedan las cartas es 25, 1, 24, 2, 23, 3, \ldots, 14, 12, 13, y al finalizar el segundo paso, quedan en el orden 13, 25, 12, 1, 14, 24, \ldots) Probar que debe llegar un momento en que todas las cartas estén al mismo tiempo exactamente en el orden en que empezaron (el 1, 2, 3, 4, \ldots, 24, 25) y encontrar el menor número de pasos en que esto ocurre.

Sea $ABCD$ un tetraedro en el que $|AB| = |CD|$, $|AC| = |BD|$ y $|AD| = |BC|$ y sean $P_1, P_2, Q_1, Q_2, R_1$ y $R_2$ los puntos medios de $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$ y $BC$, respectivamente. Probar que (a) $P_1P_2$ es ortogonal a $AB$. (b) $P_1P_2$, $Q_1Q_2$ y $R_1R_2$ concurren y son ortogonales entre sí.

Probar que para $n \geq 12$ es posible dibujar un "panal" con $n$ hexágonos regulares todos del mismo tamaño de manera que cada uno tenga lado común con al menos otros tres hexágonos.

Encuentra todos los números enteros $n$ que satisfagan todas las condiciones siguientes: $n < 1000$, $n$ es múltiplo de $3$, $n$ termina en $1$ y $n$ es suma de dos cuadrados.

Se dispone de colchones de hule espuma que se van a encimar unos sobre otros (uno a la vez) para formar una torre. Unos colchones pesan 1 Kg y miden 1 cm de alto; otros pesan 2 Kg y miden 2 cm de alto. Cada vez que se coloca un colchón de 1 Kg encima de los que ya están apilados, todos los de abajo disminuyen su altura a la mitad, y cada vez que se coloca un colchón de 2 Kg encima de los que ya está apilados, todos los de abajo disminuyen su altura a la cuarta parte. Prueba que es posible encimar colchones de manera que la torre al final mida más que 2.666 cm, pero que no es posible lograr una altura final de $\frac{8}{3}$ cm.

En un círculo están marcados en forma consecutiva (en el orden de las manecillas del reloj) los números del 1 al 2004. En cada número múltiplo de 6 hay una ficha marcada con el mismo número de su casilla. Cada segundo cada ficha se mueve en el sentido de las manecillas del reloj el mismo número de espacios de la ficha (por ejemplo, después de 4 segundos, la ficha 30 está en la casilla 150). ¿Cuántos segundos deben de transcurrir para que todas las fichas estén por primera vez juntas en una misma casilla?