Sean $f,g\colon [0,1]\to [0,1]$ dos funciones tales que $g$ es monótona, sobreyectiva y $|f(x)-f(y)|\le |g(x)-g(y)|$ , para cualquier $x,y\in [0,1]$ . a) Demuestre que $f$ es continua y que existe algún $x_0\in [0,1]$ con $f(x_0)=g(x_0)$ . b) Demuestre que el conjunto $\{x\in [0,1]\, |\, f(x)=g(x)\}$ es un intervalo cerrado.

Sean $n$ y $m$ dos números naturales, $m\ge n\ge 2$ . Encuentre el número de funciones inyectivas \[f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,m\}\] tales que existe un número único $i\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ para el cual $f(i)>f(i+1)\, .$

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $0<a<b$ . Demuestre que: a) $2\sqrt {ab}\le\frac {x+y+z}3+\frac {ab}{\sqrt[3]{xyz}}\le a+b$ , para $x,y,z\in [a,b]\, .$ b) $\left\{\frac {x+y+z}3+\frac {ab}{\sqrt[3]{xyz}}\, |\, x,y,z\in [a,b]\right\}=[2\sqrt {ab},a+b]\, .$

Sean $a$ , $b$ y $c$ tres números complejos tales que $a+b+c=0$ y $|a|=|b|=|c|=1$ . Demuestre que: \[3\le |z-a|+|z-b|+|z-c|\le 4,\] para cualquier $z\in\mathbb{C}$ , $|z|\le 1\, .$

Sea $M=\{x\in\mathbb{C}\, |\, |z|=1,\ \text{Re}\, z\in\mathbb{Q}\, .\}$ Demuestre que existen infinitos triángulos equiláteros en el plano complejo que tienen todos los afijos de sus vértices en el conjunto $M$ .

En una mesa hay $k\ge 2$ pilas que tienen $n_1,n_2,\ldots,n_k$ lápices respectivamente. Un movimiento consiste en elegir dos pilas que tienen $a$ y $b$ lápices respectivamente, $a\ge b$ y transferir $b$ lápices de la primera pila a la segunda. Encuentre la condición necesaria y suficiente para $n_1,n_2,\ldots,n_k$ , de modo que exista una sucesión de movimientos a través de los cuales todos los lápices se transfieran a la misma pila.

Demuestre que si $n\ge 2$ es un número natural y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son números reales positivos, entonces: \[4\left(\frac {x_1^3-x_2^3}{x_1+x_2}+\frac {x_2^3-x_3^3}{x_2+x_3}+\ldots+\frac {x_{n-1}^3-x_n^3}{x_{n-1}+x_n}+\frac {x_n^3-x_1^3}{x_n+x_1}\right)\le \\ \le(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_{n-1}-x_n)^2+(x_n-x_1)^2\, .\]

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con la siguiente propiedad: para cualquier intervalo abierto acotado $I$ , el conjunto $f(I)$ es un intervalo abierto que tiene la misma longitud que $I$ .

La altitud $[BH]$ que cae sobre la hipotenusa de un triángulo $ABC$ interseca las bisectrices $[AD]$ y $[CE]$ en $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestre que la línea que pasa por los puntos medios de los segmentos $[QD]$ y $[PE]$ es paralela a la línea $AC$ .

Para cualquier número numérico no vacío $A$ y $B$ , denotamos $$A + B = \{a + b | a \in A, b \in B\} $$ a) Determine el número natural más grande no $p$ con la propiedad: existe $A,B \subset N$ tal que $card \, A = card\, B = p$ y $A+B = \{0, 1, 2,..., 2012\}$ b) Determine el número natural más pequeño $n$ con la propiedad: existe $A,B \subset N$ tal que $card \, A = card\, B $ y $A+B =\{0, 1, 2,..., 2012\}$