Un conjunto $M$ de enteros positivos se llama conectado si para cualquier elemento $x\in M$ al menos uno de los números $x-1,x+1$ está en $M$ . Sea $U_n$ el número de subconjuntos conectados de $\{1,2,\ldots,n\}$ . a) Calcula $U_7$ ; b) Encuentra el número más pequeño $n$ tal que $U_n \geq 2006$ .

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle ABC = 2 \angle ACB$ . Demuestra que a) $AC^2 = AB^2 + AB \cdot BC$ ; b) $AB+BC < 2 \cdot AC$ .

Demuestra que para todo entero positivo $n$ , $n>1$ el número $\sqrt{ \overline{ 11\ldots 44 \ldots 4 } }$ , donde 1 aparece $n$ veces, y 4 aparece $2n$ veces, es irracional.

Sean $m$ y $n$ dos números naturales distintos de cero. Determine el número mínimo de raíces complejas distintas del polinomio $\prod_{k=1}^m\, (f+k)$ , cuando $f$ cubre el conjunto de polinomios de grado $n^{\text{th}}$ con coeficientes complejos.

Sea $\mathcal{C}$ el conjunto de funciones integrables $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ tales que $0\le f(x)\le x$ para cualquier $x\in [0,1]$ . Defina la función $V\colon\mathcal{C}\to\mathbb{R}$ por \[V(f)=\int_0^1f^2(x)\ \text{d}x-\left(\int_0^1f(x)\ \text{d}x\right)^2\ ,\ f\in\mathcal{C}\ .] Determine los siguientes dos conjuntos: a) $\{V(f_a)\, |\, 0\le a\le 1\}$ , donde $f_a(x)=0$ , si $0\le x\le a$ y $f_a(x)=x$ , si $a<x\le 1\, ;$ b) $\{V(f)\, |\, f\in\mathcal{C}\}\ .$

Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo y sea $f$ un endomorfismo sobreyectivo de $R$ tal que $[x,f(x)]=0$ para cualquier $x\in R$ , donde $[a,b]=ab-ba$ , $a,b\in R$ . Demuestre que: a) $[x,f(y)]=[f(x),y]$ y $x[x,y]=f(x)[x,y]$ , para cualquier $x,y\in R\ ;$ b) Si $R$ es un anillo de división y $f$ es diferente de la función identidad, entonces $R$ es conmutativo.

Sea $f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función continua tal que $\int_0^nf(x)f(n-x)\ \text{d}x=\int_0^nf^2(x)\ \text{d}x$ , para cualquier número natural $n\ge 1$ . Demuestre que $f$ es una función periódica.

Encuentre todas las funciones diferenciables $f\colon [0,\infty)\to [0,\infty)$ para las cuales $f(0)=0$ y $f^{\prime}(x^2)=f(x)$ para cualquier $x\in [0,\infty)$ .

Sean $A,B\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ tales que $AB=BA$ y $\det (A^2+AB+B^2)=0$ . Demuestre que: \[\det (A+B)+3\det (A-B)=6\det (A)+6\det (B)\ .]

Sean $n$ y $k$ dos números naturales tales que $n\ge 2$ y $1\le k\le n-1$ . Demuestre que si la matriz $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tiene exactamente $k$ menores de orden $n-1$ iguales a $0$ , entonces $\det (A)\ne 0$ .