Una secuencia $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ tiene la propiedad de que es no decreciente, no constante y, para cada natural $ n, a_n\big| n^2. $ Mostrar que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera. $ \text{(i)} $ Existe un índice $ n_1 $ tal que $ a_n=n, $ para todo $ n\ge n_1. $ $ \text{(ii)} $ Existe un índice $ n_2 $ tal que $ a_n=n^2, $ para todo $ n\ge n_2. $

Un círculo que pasa por los vértices $ B,C $ de un triángulo $ ABC, $ corta los segmentos $ AB,AC $ (extremos excluidos) en $ N, $ respectivamente, $ M. $ Considerar el punto $ P $ en el segmento $ MN $ y $ Q $ en el segmento $ BC $ (extremos excluidos en ambos segmentos) tal que los ángulos $ \angle BAC,\angle PAQ $ tienen la misma bisectriz. Mostrar que: a) $ \frac{PM}{PN} =\frac{QB}{QC} . $ b) Los puntos medios de los segmentos $ BM,CN,PQ $ son colineales.

Si $ a,b,c>0, $ entonces $ \sum_{\text{cyc}} \frac{a}{2a+b+c}\le 3/4. $

Resolver en $ \mathbb{R} $ la ecuación $ [x]^5+\{ x\}^5 =x^5, $ donde $ [],\{\} $ son la parte entera, respectivamente, la parte fraccionaria.

Considerar un tetraedro $ABCD$ en el cual $AD \perp BC$ y $AC \perp BD$ . Denotamos por $E$ y $F$ las proyecciones del punto $B$ sobre las líneas $AD$ y $AC$ , respectivamente. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de los segmentos $[AB]$ y $[CD]$ , respectivamente, mostrar que $MN \perp EF$

Sean $a, b$ , y $c$ números reales positivos. Encontrar el entero más grande $n$ tal que $$\frac{1}{ax + b + c} \ +\frac{1}{a + bx + c}+\frac{1}{a + b + cx} \ge \frac{n}{a + b + c},$$ para todo $ x \in [0, 1]$ .

La pirámide $VABCD$ tiene como base el rectángulo ABCD, y las aristas laterales son congruentes. Demostrar que el plano $(VCD)$ forma ángulos congruentes con los planos $(VAC)$ y $(BAC)$ si y solo si $\angle VAC = \angle BAC $ .

Sean $a$ y $b$ números reales positivos distintos, tales que $a -\sqrt{ab}$ y $b -\sqrt{ab}$ son ambos números racionales. Demostrar que $a$ y $b$ son números racionales.

Considerar el cuadrado $ABCD$ y el punto $E$ en el lado $AB$ . La línea $DE$ interseca a la línea $BC$ en el punto $F$ , y la línea $CE$ interseca a la línea $AF$ en el punto $G$ . Demostrar que las líneas $BG$ y $DF$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Considerar los puntos $M, N \in (BC), Q \in (AB), P \in (AC)$ tales que $MNPQ$ es un rectángulo. Demostrar que si el centro del rectángulo $MNPQ$ coincide con el centro de gravedad del triángulo $ABC$ , entonces $AB = AC = 3AP$