Sea $D$ el punto medio del lado $[BC]$ del triángulo $ABC$ con $AB \ne AC$ y $E$ el pie de la altura desde $BC$ . Si $P$ es el punto de intersección de la bisectriz perpendicular del segmento de línea $[DE]$ con la perpendicular desde $D$ a la bisectriz del ángulo de $BAC$ , demuestra que $P$ está en el círculo de Euler del triángulo $ABC$ .

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$ . Demuestra que $$\frac{1 - a^2}{a + bc} + \frac{1 - b^2}{b + ca} + \frac{1 - c^2}{c + ab} \ge 6$$

Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ con la propiedad: existe una permutación $(a_1,a2,..., a_n)$ del conjunto $\{1, 2,...,n\}$ de modo que los números $a_1 + a_2 +...+ a_k, k = 1, 2,...,n$ tienen diferentes residuos cuando se dividen por $n$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $BCD$ . Demuestra que la línea tangente externa común de $\omega_1$ y $\omega_2$ , la otra que no es $BC$ , es paralela a $AD$

Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ tales que $7^x + 13^y = 8^z$

Sea $n$ un entero positivo. Determina todos los enteros positivos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x_1 < x_2 <...< x_n$ tales que $\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+ ... +\frac{n}{x_n}= p$

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestra que la línea de Simson de $P$ biseca el segmento $[P H]$ .

Los subconjuntos de tres elementos de un conjunto de siete elementos están coloreados. Si la intersección de dos conjuntos está vacía, entonces tienen diferentes colores. ¿Cuál es el número mínimo de colores necesarios?

Llama al número $\overline{a_1a_2... a_m}$ ( $a_1 \ne 0,a_m \ne 0$ ) el inverso del número $\overline{a_m...a_2a_1}$ . Demuestra que la suma entre un número $n$ y su inverso es un múltiplo de $81$ si y solo si la suma de los dígitos de $n$ es un múltiplo de $81$ .

Si $a, b, c > 0$ satisfacen $a + b + c = 3$ , entonces demuestra que $$\frac{a^2(b + 1)}{ ab + a + b} + \frac{b^2(c + 1)}{ bc + b + c} + \frac{c^2(a + 1)}{ ca + c + a} \ge 2$$