En el paralelogramo $ABCD$, el lado más largo es el doble del lado más corto. Sea $XYZW$ el cuadrilátero formado por las bisectrices internas de los ángulos de $ABCD$. Si el área de $XYZW$ es $10$, encuentre el área de $ABCD$.

Considere el conjunto de todos los números de 6 dígitos que constan de solo tres dígitos, $a,b,c$ donde $a,b,c$ son distintos. Suponga que la suma de todos estos números es $593999406$. ¿Cuál es el residuo más grande cuando el número de tres dígitos $abc$ se divide por $100$?

Considere el conjunto $\mathcal{T}$ de todos los triángulos cuyos lados son números primos distintos que también están en progresión aritmética. Sea $\triangle \in \mathcal{T}$ el triángulo con el perímetro más pequeño. Si $a^{\circ}$ es el ángulo más grande de $\triangle$ y $L$ es su perímetro, determine el valor de $\frac{a}{L}$.

Ria escribe los números $1,2,\cdots, 101$ con bolígrafos rojos y azules. El número azul más grande es igual al número de números escritos en azul y el número rojo más pequeño es igual a la mitad del número de números en rojo. ¿Cuántos números escribió Ria con un bolígrafo rojo?

Tres líneas paralelas $L_1, L_2, L_3$ se dibujan en el plano de tal manera que la distancia perpendicular entre $L_1$ y $L_2$ es $3$ y la distancia perpendicular entre las líneas $L_2$ y $L_3$ también es $3$. Se construye un cuadrado $ABCD$ tal que $A$ se encuentra en $L_1$, $B$ se encuentra en $L_3$ y $C$ se encuentra en $L_2$. Encuentra el área del cuadrado.

Para números reales $a,b,c,d$ no todos iguales a $0$, defina una función real $f(x) = a +b\cos{2x} + c\sin{5x} +d \cos{8x}$. Suponga que $f(t) = 4a$ para algún real $t$. Demuestre que existe un número real $s$ s.t. $f(s)<0$

Determine todos los enteros positivos $n > 2$, tales que \[ \frac{1}{2} \varphi(n) \equiv 1 ( \bmod 6) \]

Para un triángulo ABC dado, sea X un punto variable en la línea BC tal que el punto C se encuentre entre los puntos B y X. Demuestre que el eje radical de los incírculos de los triángulos ABX y ACX pasa por un punto independiente de X.

Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto que no exceden $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determine el número mínimo $C$ tal que cada matriz de este tipo necesariamente tiene una fila o una columna con la suma de sus entradas que no exceda $C$ en valor absoluto.

Dados números reales $a,\alpha,\beta, \sigma \ y \ \varrho$ s.t. $\sigma, \varrho > 0$ y $\sigma \varrho = \frac{1}{16}$, demuestre que existen enteros $x$ e $y$ s.t. \[ - \sigma \leq (x+\alpha_(ax + y + \beta ) \leq \varrho \]