$n$ jugadores participaron en una competición. Dos jugadores cualesquiera han jugado exactamente un juego, y no hubo juego de empate. Para un conjunto de $k(\le n)$ jugadores, si es posible alinear a los jugadores de tal manera que cada jugador le haya ganado a cada jugador en la parte de atrás, llamamos al conjunto ordenado. Para cada jugador que participó en la competición, el conjunto de jugadores que perdieron contra el jugador está ordenado. Demuestra que todo el conjunto de jugadores puede dividirse en tres o menos conjuntos ordenados.

Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene su incírculo tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$. Sea $I$ el incentro. Digamos que $AD$ intersecta al incírculo nuevamente en $G$, y sea la tangente al incírculo en $G$ intersecta a $AC$ en $H$. Sea $IH \cap AD = K$, y sea el pie de la perpendicular de $I$ a $AD$ sea $L$. Demuestra que $IE \cdot IK= IC \cdot IL$.

Sean $a_1, a_2, . . . $ reales positivos que satisfacen (i) $a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2 \cdot . . . \cdot a_n^2-3$ (para todo entero positivo $n$) (ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$ es un entero positivo. Demuestra que $\frac{1}{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot . . . \cdot a_n + \sqrt{a_{n+1}-1})$ es un entero positivo.

Para un entero positivo $n$ , hay una escuela con $n$ personas. Para un conjunto $X$ de estudiantes en esta escuela, si dos estudiantes cualesquiera en $X$ se conocen, llamamos a $X$ bien formado . Si el número máximo de estudiantes en un conjunto bien formado es $k$ , demuestra que el número máximo de conjuntos bien formados no es mayor que $3^{(n+k)/3}$ . Aquí, un conjunto vacío y un conjunto con un estudiante también se consideran bien formados.

Demuestra que no existe una función $f:\mathbb{R}_{\ge0}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga: $f(x+y^2)\ge f(x)+y$ para todo par de números reales no negativos $x,y$ .

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo, y denotemos $D,E,F$ a los puntos medios de $BC,CA,AB$ , respectivamente. Sea la circunferencia circunscrita de $DEF$ $O_1$ , y su centro sea $N$ . Sea la circunferencia circunscrita de $BCN$ $O_2$ . $O_1$ y $O_2$ se encuentran en dos puntos $P, Q$ . $O_2$ se encuentra con $AB$ en el punto $K(\neq B)$ y se encuentra con $AC$ en el punto $L(\neq C)$ . Demuestra que las tres líneas $EF,PQ,KL$ son concurrentes.

Dado un entero $n\ge 2$ , demuestra que existen dos enteros $a,b$ que satisfacen lo siguiente. Para todo entero $m$ , $m^3+am+b$ no es múltiplo de $n$ .

Sea $a \geq b \geq c \geq d>0$ . Demuestra que\n\[\n\frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{d^3}{c} + \frac{a^3}{d} + 3 \left( ab+bc+cd+da \right) \geq \n4 {\left( a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \right)}.\n\]

Encuentra todos los $n>1$ y enteros $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen las siguientes tres condiciones:\n(i) $2<a_1\le a_2\le \cdots\le a_n$\n(ii) $a_1,a_2,\dots,a_n$ son divisores de $15^{25}+1$ .\n(iii) $2-\frac{2}{15^{25}+1}=\left(1-\frac{2}{a_1}\right)+\left(1-\frac{2}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\frac{2}{a_n}\right)$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, y su incírculo toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La bisectriz perpendicular de $BC$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sea la línea paralela a $AQ$ y que pasa por $D$ se encuentra con $EF$ en $R$ . Demuestra que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $BCR$ .