El número $a_n$ se forma escribiendo en sucesión, sin espacios, los números $1, 2, ..., n$ (por ejemplo, $a_{11} = 1234567891011$). Encuentra el número $t$ más pequeño tal que $11 | a_t$.

Tenemos $10$ fichas idénticas como se muestra. Las fichas se pueden rotar, pero no voltear. Un tablero de $7 \times 7$ debe cubrirse con estas fichas de modo que exactamente un cuadrado unitario esté cubierto por dos fichas y todos los demás campos por una ficha. Designa todos los cuadrados unitarios que pueden cubrirse con dos fichas.

Resuelve la ecuación $a + b + 4 = 4\sqrt{a\sqrt{b}}$ en números reales.

En el plano, los círculos $k$ y $\ell$ se intersecan en los puntos $C$ y $D$, donde el círculo $k$ pasa por el centro $L$ del círculo $\ell$. La línea recta que pasa por el punto $D$ interseca los círculos $k$ y $\ell$ por segunda vez en los puntos $A$ y $B$ respectivamente, de tal manera que $D$ es el punto interior del segmento $AB$. Demuestra que $AB = AC$.

Sea $A B C$ un triángulo acutángulo de incentro $I$, circuncentro $O$ e inradio $r.$ Sea $\omega$ el círculo inscrito del triángulo $A B C$. $A_1$ es el punto de $\omega$ tal que $A IA_1O$ es un trapecio convexo de bases $A O$ e $IA_1$. Sea $\omega_1$ el círculo de radio $r$ que pasa por $A_1$, es tangente a la línea $A B$ y es diferente de $\omega$. Sea $\omega_2$ el círculo de radio $r$ que pasa por $A_1$, es tangente a la línea $A C$ y es diferente de $\omega$. Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en los puntos $A_1$ y $A_2$. Similarmente se definen los puntos $B_2$ y $C_2$. Demostrar que las líneas $A A_2, B B_2$ y $CC2$ son concurrentes.

Para un número entero positivo $n$ denotamos $d(n)$ como el máximo común divisor de los coeficientes binomiales $\binom{n+1}{n} , \binom{n+2}{n} ,..., \binom{2n}{n}$. Encontrar todos los valores posibles de $d(n)$

Tienes un tablero de $9 \times 9$ con casillas blancas. Una ficha se puede mover de una casilla a otra vecina (casillas que comparten un lado). Si pintamos algunas casillas de negro, decimos que tal coloración es buena si hay una casilla blanca donde podemos colocar una ficha que moviéndose a través de casillas blancas puede regresar a la casilla inicial habiendo pasado por al menos $3$ casillas, sin pasar por la misma casilla dos veces. Encontrar el valor más alto posible de $k$ tal que cualquier forma de pintar $k$ casillas de negro son una coloración buena.

Sean $p$ y $q$ enteros positivos relativamente primos. Un subconjunto $S$ de $\{0, 1, 2, \ldots\}$ se llama ideal si $0 \in S$ y para cada elemento $n \in S$, los enteros $n + p$ y $n + q$ pertenecen a $S$. Determina el número de subconjuntos ideales de $\{0, 1, 2, \ldots\}$.

En el plano tenemos $n$ rectángulos con lados paralelos. Los lados de rectángulos distintos se encuentran en líneas distintas. Las fronteras de los rectángulos cortan el plano en regiones conexas. Una región es *buena* si tiene al menos uno de los vértices de los $n$ rectángulos en la frontera. Demuestra que la suma de los números de los vértices de todas las regiones buenas es menor que $40n$. (Puede haber regiones no convexas, así como regiones con más de una curva frontera.)

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $ (a,m,n)$ tales que $ a^m + 1 \mid (a + 1)^n$.