Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(n)$ es divisible por $\sigma(n)$ para todos los enteros positivos $n$. (Como es usual, $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$.)

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Elija un círculo $\omega$ que pase por $B$ y $C$ que interseca los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos interiores $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $BE$ y $CD$ se intersecan en $F$. Sea $G$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABF$ tal que $GB$ es tangente a $\omega$ y sea $H$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ACF$ tal que $HC$ es tangente a $\omega$. Demuestre que existe un punto $T\neq A$, independiente de la elección de $\omega$, tal que la circunferencia circunscrita del triángulo $AGH$ pasa por $T$.

Hay una hoja rectangular de papel en una pizarra infinita. Marvin elige secretamente un $2024$ - gono convexo $P$ que se encuentra completamente en la hoja de papel. Tigerin quiere encontrar los vértices de $P$. En cada paso, Tigerin puede dibujar una línea $g$ en la pizarra que está completamente fuera de la hoja de papel, luego Marvin responde con la línea $h$ paralela a $g$ que es la más cercana a $g$ que pasa por al menos un vértice de $P$. Demuestre que existe un entero positivo $n$, independiente de la elección del polígono, tal que Tigerin siempre puede determinar los vértices de $P$ en a lo sumo $n$ pasos.

Sea $\mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los cuales existe una función $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ tal que $f(2024) = k$ y $f(f(n)) \leq f(n+1) - f(n)$ para todos los enteros no negativos $n$.

Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determinar cuándo se da la igualdad.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Sea $f$ una función definida en $\mathbb{N}$ , que satisface la desigualdad $f(n + 1) > f(f(n))$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Pruebe que para cualquier $n$ tenemos $f(n) = n.$

Sean $a,b$ dos números naturales. Cuando dividimos $a^2+b^2$ por $a+b$ , obtenemos el resto $r$ y el cociente $q.$ Determine todos los pares $(a, b)$ para los cuales $q^2 + r = 1977.$

Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Pruebe que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$ entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$

Sea $ABCD$ el tetraedro regular, y $M, N$ puntos en el espacio. Demuestre que: $AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN$

Para cada entero positivo $k$, denotamos $C(k)$ como la suma de sus divisores primos distintos. Por ejemplo, $C(1)=0,C(2)=2,C(45)=8$ . Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales $C(2^n+1)=C(n)$ .