Para un triángulo $ ABC,$ sea $ k$ su circuncírculo con radio $ r.$ Las bisectrices de los ángulos internos $ A, B,$ y $ C$ del triángulo intersecan respectivamente el círculo $ k$ nuevamente en los puntos $ A', B',$ y $ C'.$ Demuestra la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\ ] donde $ Q$ y $ P$ son las áreas de los triángulos $ A'B'C'$ y $ABC$ respectivamente.

Sea $ n \leq 44, n \in \mathbb{N}.$ Demuestra que para cualquier función $ f$ definida sobre $ \mathbb{N}^2$ cuyas imágenes están en el conjunto $ \{1, 2, \ldots , n\},$ existen cuatro pares ordenados $ (i, j), (i, k), (l, j),$ y $ (l, k)$ tales que \[ f(i, j) = f(i, k) = f(l, j) = f(l, k),\ ] en los que $ i, j, k, l$ se eligen de tal manera que existen números naturales $ m, p$ que satisfacen \[ 1989m \leq i < l < 1989 + 1989m\ ] y \[ 1989p \leq j < k < 1989 + 1989p.\ ]

Sea $ P(x)$ un polinomio tal que se satisfacen las siguientes desigualdades: \[ P(0) > 0;\ ] \[ P(1) > P(0);\ ] \[ P(2) > 2P(1) - P(0);\ ] \[ P(3) > 3P(2) - 3P(1) + P(0);\ ] y también para cada número natural $ n,$ \[ P(n+4) > 4P(n+3) - 6P(n+2)+4P(n + 1) - P(n).\ ] Demuestra que para cada número natural positivo $ n,$ $ P(n)$ es positivo.

Dada la ecuación \[ y^4 + 4y^2x - 11y^2 + 4xy - 8y + 8x^2 - 40x + 52 = 0,\ ] encuentra todas las soluciones reales.

Dada la ecuación \[ 4x^3 + 4x^2y - 15xy^2 - 18y^3 - 12x^2 + 6xy + 36y^2 + 5x - 10y = 0,\ ] encuentra todas las soluciones enteras positivas.

Sea $ m$ un entero positivo y defina $ f(m)$ como el número de factores de $ 2$ en $ m!$ (es decir, el mayor entero positivo $ k$ tal que $ 2^k|m!$ ) . Demuestre que hay infinitos enteros positivos $ m$ tales que $ m - f(m) = 1989.$

Encuentre las raíces $ r_i \in \mathbb{R}$ del polinomio\n\[ p(x) = x^n + n \cdot x^{n-1} + a_2 \cdot x^{n-2} + \ldots + a_n\]\nsatisfaciendo\n\[ \sum^{16}_{k=1} r^{16}_k = n.\]

Demuestre que $ \forall n > 1, n \in \mathbb{N}$ la ecuación\n\[ \sum^n_{k=1} \frac{x^k}{k!} + 1 = 0\]\nno tiene raíces racionales.

Los círculos $ c_1$ y $ c_2$ son tangentes en el punto $ A.$ Una línea recta $ l$ que pasa por $ A$ intersecta $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ C_1$ y $ C_2$ respectivamente. Un círculo $ c,$ que contiene $ C_1$ y $ C_2,$ se encuentra con $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ B_1$ y $ B_2$ respectivamente. Sea $ \omega$ el círculo circunscrito alrededor del triángulo $ AB_1B_2.$ El círculo $ k$ tangente a $ \omega$ en el punto $ A$ se encuentra con $ c_1$ y $ c_2$ en los puntos $ D_1$ y $ D_2$ respectivamente. Demuestre que\n(a) los puntos $ C_1,C_2,D_1,D_2$ son concíclicos o colineales,\n(b) los puntos $ B_1,B_2,D_1,D_2$ son concíclicos si y solo si $ AC_1$ y $ AC_2$ son diámetros de $ c_1$ y $ c_2.$

Las secuencias $ a_0, a_1, \ldots$ y $ b_0, b_1, \ldots$ se definen para $ n = 0, 1, 2, \ldots$ por las igualdades\n\[ a_0 = \frac {\sqrt {2}}{2}, \quad a_{n + 1} = \frac {\sqrt {2}}{2} \cdot \sqrt {1 - \sqrt {1 - a^2_n}}\n\]\ny\n\[ b_0 = 1, \quad b_{n + 1} = \frac {\sqrt {1 + b^2_n} - 1}{b_n}\n\]\nDemuestre las desigualdades para cada $ n = 0, 1, 2, \ldots$\n\[ 2^{n + 2} a_n < \pi < 2^{n + 2} b_n.\n\]