Sean $ a, b, c, d$ enteros positivos tales que $ ab = cd$ y $ a+b = c - d.$ Demuestre que existe un triángulo rectángulo cuya medida de los lados (en alguna unidad) son enteros y cuya medida del área es $ ab$ unidades cuadradas.

Sea $ ABC$ un triángulo. Demuestre que hay un único punto $ U$ en el plano de $ ABC$ tal que existen números reales $ \alpha, \beta, \gamma, \delta$ no todos cero, tales que \[ \alpha PL^2 + \beta PM^2 + \gamma PN^2 + \delta UP^2\] es constante para todos los puntos $ P$ del plano, donde $ L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $ P$ a $ BC,CA,AB$ respectivamente. Identifique $ U.$

$ \forall n > 0, n \in \mathbb{Z},$ existen enteros únicamente determinados $ a_n, b_n, c_n \in \mathbb{Z}$ tales que \[ \left(1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} - 4 \cdot \sqrt[3]{4} \right)^n = a_n + b_n \cdot \sqrt[3]{2} + c_n \cdot \sqrt[3]{4}.\] Demuestre que $ c_n = 0$ implica $ n = 0.$

Sea $ ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $ N \in \mathbb{N}.$ Considere el conjunto $ S$ de todos los puntos $ M$ dentro del triángulo $ ABC$ que satisfacen \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{N} \cdot \left(n \cdot \overrightarrow{AB} + m \cdot \overrightarrow{AC} \right)\] con $ m, n$ enteros, $ 0 \leq n \leq N,$ $ 0 \leq m \leq N$ y $ n + m \leq N.$ Cada punto de S está coloreado en uno de los tres colores azul, blanco, rojo, de tal manera que (i) ningún punto de $ S \cap [AB]$ está coloreado de azul (ii) ningún punto de $ S \cap [AC]$ está coloreado de blanco (iii) ningún punto de $ S \cap [BC]$ está coloreado de rojo Demuestre que existe un triángulo equilátero con las siguientes propiedades: (1) los tres vértices del triángulo son puntos de $ S$ y están coloreados de azul, blanco y rojo, respectivamente. (2) la longitud de los lados del triángulo es igual a 1. Variante: Mismo problema pero con un tetraedro regular y cuatro colores diferentes utilizados.

Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ satisfaciendo las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de dos rectángulos diferentes $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestre que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: Mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tienen al menos un lado entero.

Sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros positivos distintos que no contienen un $9$ en sus representaciones decimales. Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple \[ \sum^n_{i=1} \frac{1}{a_i} \leq 30.\]

Hay algunos niños y niñas sentados en una matriz cuadrática de $n \times n$. Conocemos el número de niñas en cada columna y fila y cada línea paralela a las diagonales de la matriz. ¿Para qué $n$ es suficiente esta información para determinar las posiciones exactas de las niñas en la matriz? ¿Para qué asientos podemos decir con seguridad que una niña se sienta allí o no?

Sea $a \in \mathbb{R}, 0 < a < 1,$ y $f$ una función continua en $[0, 1]$ que satisface $f(0) = 0, f(1) = 1,$ y \[ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a) f(x) + a f(y) \quad \forall x,y \in [0,1] \text{ with } x \leq y.\] Determine $f \left( \frac{1}{7} \right).$

Demuestra que dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de un $n-$ gono regular $E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares que se encuentran dentro de $E$ y se encuentran en un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

Una secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ se define recursivamente por $a_1 = 1$ y $a_{2^k+j} = -a_j$ $(j = 1, 2, \ldots, 2^k).$ Demuestra que esta secuencia no es periódica.