Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$ números reales. Demuestre que\n\[ \left(\sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i,j=1}^{n}(x_i-x_j)^2. \]\nMuestre que la igualdad se cumple si y solo si $x_1, \ldots, x_n$ es una progresión aritmética.

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

Cada entero positivo $a$ se somete al siguiente procedimiento para obtener el número $d = d(a)$ : (i) mueva el último dígito de $a$ a la primera posición para obtener el número $b$ ; (ii) eleve al cuadrado $b$ para obtener el número $c$ ; (iii) mueva el primer dígito de $c$ al final para obtener el número $d$ . (Todos los números en el problema se consideran representados en base $10$ . ) Por ejemplo, para $a=2003$ , obtenemos $b=3200$ , $c=10240000$ , y $d = 02400001 = 2400001 = d(2003)$ . ) Encuentre todos los números $a$ para los cuales $d( a) =a^2$ .

Considere la secuencia mod 2004. Es equivalente a la siguiente recurrencia: x_0=1, x_1=2^1, x_2=2^2 ... x_2003=2^2003, x_n=x_n-1 ... + x_n-2004. Entonces la recurrencia es periódica. Así que los términos {1, 1, 2^1 ... 2^2003} ocurren de nuevo en ese orden en algún lugar de la secuencia. Podemos ver que los 2004 términos anteriores son 1, seguidos de 2003 '0's. Así que podemos tener 2003 términos consecutivos todos divisibles por 2004. No podemos tener 2004 tales términos, porque entonces todos los términos siguientes son divisibles por 2004 - lo que entonces contradice la periodicidad de la recurrencia mod 2004. Y hemos terminado.

Sea $m$ un entero fijo mayor que $1$ . La secuencia $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ se define como sigue: \[x_i = \begin{cases}2^i&\text{si }0\leq i \leq m - 1;\\\sum_{j=1}^mx_{i-j}&\text{si }i\geq m.\end{cases}\] Encuentre el mayor $k$ para el cual la secuencia contiene $k$ términos consecutivos divisibles por $m$ .

Sea $ABC$ un triángulo con semiperímetro $s$ y radio interior $r$ . Los semicírculos con diámetros $BC$ , $CA$ , $AB$ se dibujan en el exterior del triángulo $ABC$ . El círculo tangente a todos estos tres semicírculos tiene radio $t$ . Pruebe que \[\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. \]

Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Pruebe que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Sean $D_1$ , $D_2$ , ..., $D_n$ discos cerrados en el plano. (Un disco cerrado es la región limitada por un círculo, tomado conjuntamente con este círculo). Suponga que cada punto en el plano está contenido en a lo sumo $2003$ discos $D_i$ . Demuestre que existe un disco $D_k$ que interseca a lo sumo $7\cdot 2003 - 1 = 14020$ otros discos $D_i$ .

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestra que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Sea $n$ un entero positivo impar y sea $$\nf_n(x,y,z) = x^n + y^n + z^n + (x+y+z)^n.\n$$(a) Demuestre que existen infinitos valores de $n$ tales que $$ f_n(x,y,z) \equiv (x+y)(y+z)(z+x) g_n(x,y,z) h_n(x,y,z) \pmod{2},\n$$ para algunos polinomios enteros $g_n(x,y,z)$ y $h_n(x,y,z)$ , ninguno de los cuales es constante módulo 2. $(b)$ Determine todos los valores de $n$ tales que $$ f_n(x,y,z) \equiv (x+y)(y+z)(z+x) g_n(x,y,z) h_n(x,y,z) \pmod{2},\n$$ para algunos polinomios enteros $g_n(x,y,z)$ y $h_n(x,y,z)$ , ninguno de los cuales es constante módulo 2. (Dos polinomios enteros son $\emph{congruentes módulo 2}$ si cada coeficiente de su diferencia es par. Un polinomio es $\emph{constante módulo 2}$ si es congruente a un polinomio constante módulo 2.)