Sean $n{}$ y $m$ enteros positivos, $n>m>1$. Sea $n{}$ dividido por $m$ con cociente parcial $q$ y residuo $r$ (de modo que $n = qm + r$, donde $r\in\{0,1,...,m-1\}$). Sea $n-1$ dividido por $m$ con cociente parcial $q^{'}$ y residuo $r^{'}$. a) Parece que $q+q^{'} =r +r^{'} = 99$. Encuentre todos los valores posibles de $n{}$. b) Demuestre que si $q+q^{'} =r +r^{'}$, entonces $2n$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con la longitud del lado igual a $a+ b+ c$. En el lado $AB{}$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $C_1$ y $C_2$, en el lado $BC$ se eligen los puntos $A_1$ y $A_2$, y en el lado $CA$ se eligen los puntos $B_1$ y $B_2$ tales que $A_1A_2 = CB_1 = BC_2 = a, B_1B_2 = AC_1 = CA_2 = b, C_1C_2 = BA_1 = AB_2 = c$. Sea el punto $A^{’}$ tal que el triángulo $A^{'} B_2C_1$ es equilátero, y los puntos $A$ y $A^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $B_2C_1$. Del mismo modo, se construyen los puntos $B^{’}$ y $C^{'}$ (el triángulo $B^{'} C_2A_1$ es equilátero, y los puntos $B$ y $B^{’}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $C_2A_1$; el triángulo $C^{'} A_2B_1$ es equilátero, y los puntos $C$ y $C^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $A_2B_1$). Demuestre que el triángulo $A^{'}B^{'}C^{'}$ es equilátero.

Sasha tiene $10$ tarjetas con números $1, 2, 4, 8,\ldots, 512$. Escribe el número $0$ en la pizarra e invita a Dima a jugar un juego. Dima dice el entero $0 < p < 10, p$ puede variar de ronda a ronda. Sasha elige $p$ tarjetas antes de las cuales pone un signo ' $+$ ', y antes de las otras tarjetas pone un signo ' $-$ '. El número obtenido se calcula y se añade al número de la pizarra. Encuentre el mayor valor absoluto del número en la pizarra que Dima puede obtener en la pizarra después de varias rondas, independientemente de los movimientos de Sasha.

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $$\gcd(a, b) + \text{lcm}(a, b) = \gcd(a, c) + \text{lcm}(a, c).$$ ¿Se deduce de esto que $b = c$ ?

¿Es posible llenar una tabla de $1\times n$ con enteros distintos por pares de tal manera que para cualquier $k = 1, 2,\ldots, n$ se pueda encontrar un rectángulo de $1\times k$ en el que la suma de los números sea igual a $0$ si a) $n= 11$ ; b) $n= 12$ ?

Pasha y Vova juegan un juego tachando las celdas de un tablero de $3\times 101$ por turnos. Al principio, la celda central está tachada. En un movimiento, el jugador elige la diagonal (puede haber $1, 2$ o $3$ celdas en la diagonal) y tacha las celdas de esta diagonal que aún no han sido tachadas. Al menos una nueva celda debe ser tachada por el movimiento de cualquier jugador. Pasha comienza, el que no puede hacer ningún movimiento pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Los números $1, 2, 3,\ldots, 2\underbrace{00\ldots0}_{100 \text{ ceros}}2$ están escritos en la pizarra. ¿Es posible pintar la mitad de ellos de rojo y los restantes de azul, de modo que la suma de los números rojos sea divisible por la suma de los azules?

En un hexágono convexo, el valor de cada ángulo es $120^{\circ}$. El perímetro del hexágono es igual a $2$. Demuestre que este hexágono se puede cubrir con un triángulo con un perímetro de a lo sumo $3$.

Determine el entero positivo más pequeño $n{}$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: el producto de cualquier $n{}$ enteros positivos impares consecutivos es divisible por $45$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$ , los dos primeros hacia afuera y los otros dos hacia adentro. Demuestre que $MN = AC$ . ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$ ?