Sean $c_1,c_2,\ldots ,c_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ $(n\geq 2)$ números reales positivos. Demostrar que la ecuación\n$\displaystyle \sum_{i=1}^nc_i\sqrt{x_i-b_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nx_i$\ntiene una solución única $(x_1,\ldots ,x_n)$ si y sólo si $\sum_{i=1}^nc_i^2=\sum_{i=1}^nb_i$.

Suponga que en el exterior de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se construyen triángulos equiláteros $XAB, YBC, ZCD, WDA$ con centroides $S_1, S_2, S_3, S_4$ respectivamente. Demostrar que $S_1S_3\perp S_2S_4$ si y sólo si $AC=BD$.

Sea $F=\{1,2,...,100\}$ y sea $G$ cualquier subconjunto de $10$ elementos de $F$. Demostrar que existen dos subconjuntos no vacíos disjuntos $S$ y $T$ de $G$ con la misma suma de elementos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $AA_1, BB_1, CC_1$ sus alturas. Se eligen los puntos $A', B', C'$ en los segmentos $AA_1, BB_1, CC_1$, respectivamente, de modo que $\angle BA'C = \angle AC'B = \angle CB'A = 90^{o}$. Sean los segmentos $AC'$ y $CA'$ se intersecan en $B''$; los puntos $A'', C''$ se definen de manera similar. Demuestre que el hexágono $A'B''C'A''B'C''$ es circunscrito.

Los números $1, 2,\ldots, n$ están escritos en la pizarra. En un movimiento, reemplazamos algunos dos números $ a, b$ con el número $a^2-b{}$. Encuentre todos los $n{}$ tales que después de $n-1$ movimientos es posible obtener $0$.

Sea $n \leq 100$ un entero. La Liebre coloca números reales en las celdas de una tabla de $100 \times 100$. Al hacerle una pregunta a la Liebre, el Lobo puede averiguar la suma de todos los números de un cuadrado de $n \times n$, o la suma de todos los números de un rectángulo de $1 \times (n - 1)$ (o $(n - 1) \times 1$). Encuentre el mayor $n{}$ tal que, después de varias preguntas, el Lobo puede encontrar los números en todas las celdas, con garantía.

Same as P6 juniors: Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $$\gcd(a, b) + \text{lcm}(a, b) = \gcd(a, c) + \text{lcm}(a, c).$$ ¿Se deduce de esto que $b = c$ ?

Sean $n>k>1$ enteros positivos y sea $G$ un grafo con $n$ vértices tal que entre cualquier $k$ vértices, hay un vértice conectado al resto de los $k-1$ vértices. Encuentre el número mínimo posible de aristas de $G$.

a) Determine si existe un hexágono convexo $ABCDEF$ con $$\angle ABD + \angle AED > 180^{\circ},$$ $$\angle BCE + \angle BFE > 180^{\circ},$$ $$\angle CDF + \angle CAF > 180^{\circ}.$$ b) La misma pregunta, con la condición adicional de que las diagonales $AD, BE,$ y $CF$ son concurrentes.

Se dan reales $a, b$. Demuestre que al menos una de las ecuaciones $x^4-2b^3x+a^4=0$ y $x^4-2a^3x+b^4=0$ tiene una raíz real.