3 Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $10$ y $P$ un punto en el lado $BC$. Al doblar el papel a lo largo de la línea $AP$, el punto $B$ determina el punto $Q$, como se ve en la figura. La línea $PQ$ corta al lado $CD$ en $R$. Calcule el perímetro del triángulo $PCR$ https://3.bp.blogspot.com/-ZSyCUznwutE/XNY7cz7reQI/AAAAAAAAKLc/XqgQnjm8DQYq6Q7fmCAKJwKt3ihoL8AuQCK4BGAYYCw/s400/may%2B2013%2Bl1.png

1 igual que los juniors

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}.\] ¿Cuándo ocurre la igualdad?

4 Sea $n \geq 2$ un entero. Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,\dots,n\}$ tal que $S$ no contiene dos elementos donde uno divide al otro, ni contiene dos elementos que sean coprimos. ¿Cuál es el número máximo posible de elementos de tal conjunto $S$?

1 Para cualesquiera números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$, ¿puede existir un número real $x$ tal que los números $a_1+x, a_2+x,\ldots, a_n+x$ sean todos irracionales?

5 Sean $a \ge 2$ y $n \ge 3$ enteros. Demuestre que uno de los números $a^n+ 1 , a^{n + 1}+ 1 , ... , a^{2 n-2}+ 1$ no comparte ningún divisor impar mayor que $1$ con ninguno de los otros números.

4 Encuentre todos los números reales $x$ tales que: a) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2012x \rfloor = 2013$ b) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2013x \rfloor = 2014$

1 Un entero $n$ se denomina apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos distintos de $n$ da como resultado $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentre el número apocalíptico positivo más pequeño.

2021.8 Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle BCD = 70^{\circ}$. Sea $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle CBE = 60^{\circ}$. Determine el valor del ángulo $\angle CDE$.