min(v₂(n!), v₅(n!)) = v₅(n!).
El problema de encontrar cuántos ceros hay al final de la representación decimal de un entero $N$ es equivalente a determinar la potencia más alta de $10$ que divide a $N$. Como $10 = 2 \times 5$, un cero al final se produce con un par de factores primos: un $2$ y un $5$. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, cualquier entero $N$ lo puedes escribir como $N = 2^a \cdot 5^b \cdot k$, donde $\gcd(k, 10) = 1$. La cantidad de factores de $10$ está limitada por el factor primo, ya sea el $2$ o el $5$, que aparezca menos veces. Así que el número de ceros al final es $\min(a, b)$.
Este concepto se aplica muy seguido a los factoriales ($n!$). En la secuencia de enteros $1, 2, 3, \dots, n$, los múltiplos de $2$ aparecen mucho más seguido que los múltiplos de $5$. Específicamente, cada segundo número te da un factor de $2$, mientras que solo cada quinto número te da un factor de $5$. Por lo tanto, para cualquier $n \ge 5$, el exponente del $2$ en la factorización prima de $n!$ siempre va a ser estrictamente mayor que el exponente del $5$. Entonces, el número de ceros al final de